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	Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte

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Fünf Sätze über Curven-Integrale.

grenzten Flächen; ferner ist daselbst unter $r\,$ die gegenseitige Entfernung zweier Puncte $m,m_{1}\,$ zu verstehen, welche auf $\lambda ,\lambda _{1}\,$ beliebig gewählt werden dürfen; endlich sind unter $n,n_{1}\,$ diejenigen auf $\lambda ,\lambda _{1}\,$ in den Puncten $m,m_{1}\,$ errichteten Normalen zu verstehen, welche positiv liegen zu den durch $\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1}\,$ indicirten Umlaufrichtungen ^[1].“

     Dritter Satz. Ist eine lediglich von $r\,$ abhängende Function $f\,$ von solcher Beschaffenheit gegeben, dass für sie das (im vorgehenden Satz genannte) Integral

$(37.)\,$

$K={\mathit {\Sigma \Sigma }}\ [f(\mathrm {D} x\mathrm {D} x_{1}+\mathrm {D} y\mathrm {D} y_{1}+\mathrm {D} z\mathrm {D} z_{1})]\,$

jederzeit verschwindet, wie beschaffen die beiden geschlossenen Curven, über welche das Integral sich ausdehnt, ihrer Lage, Grösse und Gestalt nach auch sein mögen; — so folgt daraus, dass jene Function $f\,$ eine Constante ist.

     Beweis. — Es ist vorausgesetzt, $f\,$ wäre von solcher Beschaffenheit, dass $K\,$ verschwindet für zwei ganz beliebige geschlossene Curven. Aus dieser Voraussetzung folgt, dass $K\,$ z. B. auch dann verschwindet, wenn die Curven unendlich klein und eben sind; in diesem Falle aber hat $K,\,$ nach (24.c, d), den Werth

$(38.)\,$

$K=4\lambda \lambda _{1}\left\lbrace {\begin{aligned}f^{\mathrm {II} }(\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )\ (\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta )\\-(f^{\mathrm {II} }r^{2}+f^{\mathrm {I} })\ (\alpha \alpha _{1}+\beta \beta _{1}+\gamma \gamma _{1})\end{aligned}}\right\rbrace .\,$

Aus der gemachten Voraussetzung folgt mithin, dass dieser Ausdruck (38.) verschwindet, und zwar immer verschwindet, wie beschaffen die relative Lage der unendlich kleinen Curven auch sein mag. Oder mit andern Worten: aus der gemachten Voraussetzung folgt, dass dieser Ausdruck (38.) verschwindet für beliebige Werthe der Richtungscosinus:

${\begin{aligned}&\alpha ,&\beta ,&&\gamma ,\\&\alpha _{1},&\beta _{1},&&\gamma _{1},\\&{\frac {\xi }{r}},&{\frac {\eta }{r}},&&{\frac {\zeta }{r}}.\end{aligned}}\,$

Solches constatirt, ergiebt sich sofort, dass $f^{\mathrm {I} }\,$ und $f^{\mathrm {II} }\,$ identisch mit Null sein müssen, dass also $f\,$ selber unabhängig von $R,\,$ oder (was dasselbe) unabhängig von $r\,$ sein muss. W. z. b. w.

     Vierter Satz. Es seien $\mathrm {D} s\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ die Elemente zweier geschlossener Curven, und $r\,$ ihre gegenseitige Entfernung; ausserdem sei gesetzt:

---

1. Jedem der Elemente $\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1}\,$ ist nämlich eine bestimmte Richtung zuertheilt zu denken. Denn sonst würde $\cos \ (\mathrm {D} s,\mathrm {D} s_{1}),\,$ und ebenso also auch das Integral (36.a), um dessen Werthermittelung es sich handelt, keine bestimmte Bedeutung haben.

Empfohlene Zitierweise:
Carl Gottfried Neumann: Die elektrischen Kräfte, Leipzig 1873, Seite 94. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Carl_Gottfried_Neumann_-_Die_elektrischen_Kr%C3%A4fte_112.jpg&oldid=- (Version vom 17.8.2016)