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	Max Abraham: Zur Elektrodynamik bewegter Körper

§ 2. Mathematische Hilfsformeln.

Die Zeitdifferentiation für feste Raumpunkte wird durch ${\tfrac {\partial }{\partial t}}$ vorgestellt. Die zeitliche Änderung eines Flächenintegrales, erstreckt über eine Fläche, deren Punkte sich mit der Geschwindigkeit ${\mathfrak {w}}$ bewegen

${\frac {d}{dt}}\int df\ {\mathfrak {A}}_{n}=\int df\left\{{\frac {\partial '{\mathfrak {A}}}{\partial t}}\right\}_{n}$

definiert eine andere Art der Zeitdifferentiation eines Vektors

(1)	${\frac {\partial '{\mathfrak {A}}}{\partial t}}={\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}+{\mathfrak {w}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {A}}+\mathrm {curl} [{\mathfrak {Aw}}].$

.

Ferner ist der auf bewegte Punkte bezogene Differentialquotient nach der Zeit

(2)	${\dot {\mathfrak {A}}}={\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}+({\mathfrak {w}}\nabla ){\mathfrak {A}}.$

Dieser ist mit der zeitlichen Änderung des Volumintegrales eines Vektors verknüpft durch die Beziehungen

(2a)	${\begin{array}{c}{\frac {d}{dt}}\int dv\ {\mathfrak {A}}=\int dv{\frac {\delta {\mathfrak {A}}}{\delta t}},\\\\{\frac {\delta {\mathfrak {A}}}{\delta t}}={\dot {\mathfrak {A}}}+{\mathfrak {A}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}.\end{array}}$

Aus (2) und (2a) folgt

(3)	${\frac {\delta {\mathfrak {A}}}{\delta t}}={\frac {\partial {\mathfrak {A}}}{\partial t}}+({\mathfrak {w}}\nabla ){\mathfrak {A}}+{\mathfrak {A}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}.$

Für Skalare ergiebt sich dementsprechend

(3a)	${\frac {\delta \psi }{\delta t}}={\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\mathrm {div} \ \psi \ {\mathfrak {w}}.$

Aus (1) und (3) folgt endlich, mit Rücksicht auf die allgemeine Regel

$\mathrm {curl} [{\mathfrak {Aw}}]=({\mathfrak {w}}\nabla ){\mathfrak {A}}-({\mathfrak {A}}\nabla ){\mathfrak {w}}+{\mathfrak {A}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}-{\mathfrak {w}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {A}},$

die Beziehung

(4)	${\frac {\partial '{\mathfrak {A}}}{\partial t}}={\frac {\delta {\mathfrak {A}}}{\delta t}}-({\mathfrak {A}}\nabla ){\mathfrak {w}}.$

Da die in (2) eingeführte Art der Zeitdifferentiation den gewöhnlichen Rechnungsregeln folgt, so gilt, mit Rücksicht auf (2a)

$[{\mathfrak {{\dot {A}}B}}]+[{\mathfrak {A{\dot {B}}}}]={\frac {\delta }{\delta t}}[{\mathfrak {AB}}]-[{\mathfrak {AB}}]\mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}.$

Aus dieser Gleichung, im Verein mit den aus (4) und (2a) folgenden

${\begin{array}{l}{\frac {\partial '{\mathfrak {A}}}{\partial t}}={\mathfrak {\dot {A}}}+{\mathfrak {A}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}-({\mathfrak {A}}\nabla ){\mathfrak {w}},\\\\{\frac {\partial '{\mathfrak {B}}}{\partial t}}={\mathfrak {\dot {B}}}+{\mathfrak {B}}\ \mathrm {div} \ {\mathfrak {w}}-({\mathfrak {B}}\nabla ){\mathfrak {w}},\end{array}}$

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 28, Palermo 1909, Seite 4. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/4&oldid=- (Version vom 17.8.2017)