Fundamentalsatz für die Entwicklung nach Kugelfunctionen.
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Der freie Theil der rechten Seite ist Null, weil
für
und für
. Folglich haben wir
(9)
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Fasst man die Gleichungen (7), (8) und (9) zusammen, so ergibt sich
(10)
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Genau dasselbe, was auf der rechten Seite dieser Gleichung steht, kömmt aber zu Stande, wenn man das Integral (6) mit
multiplicirt und hierauf das Product
ersetzt durch
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![{\displaystyle -{\frac {1}{\ sin\theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}S_{m}}{\partial \varphi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89aec2994079ceab58fd945ded3c80575c8ea28a)
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was zulässig ist vermöge der partiellen Differentialgleichung, der
Genüge leistet. Man erhält also aus (10) die Gleichung
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wofür man auch schreiben kann