Schwere, Elektricität und Magnetismus:367

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 353
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Fundamentalsatz für die Entwicklung nach Kugelfunctionen.

${\begin{aligned}-\int _{0}^{\pi }S_{m}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta &=\left(sin\theta S_{m}{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)_{\theta =0}-\left(sin\theta S_{m}{\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)_{\theta =\pi }\\&+\left(sin\theta Q_{n}{\frac {\partial S_{m}}{\partial \theta }}\right)_{\theta =\pi }-\left(sin\theta Q_{n}{\frac {\partial S_{m}}{\partial \theta }}\right)_{\theta =0}\,\\&-\int _{0}^{\pi }Q_{n}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial S_{m}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta .\,\\\end{aligned}}$

Der freie Theil der rechten Seite ist Null, weil $\sin \theta =0\,$ für $\theta =0\,$ und für $\theta =\pi \,$. Folglich haben wir

(9)

$-\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }S_{m}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta =-\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial S_{m}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta .$

Fasst man die Gleichungen (7), (8) und (9) zusammen, so ergibt sich

(10)

$n(n+1)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}sin\theta d\theta$ $=-\int _{0}^{\pi }{\frac {d\theta }{\sin \theta }}\int _{0}^{2\pi }Q_{n}{\frac {\partial ^{2}S_{m}}{\partial \varphi ^{2}}}d\varphi -\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial S_{m}}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}d\theta .\,$

Genau dasselbe, was auf der rechten Seite dieser Gleichung steht, kömmt aber zu Stande, wenn man das Integral (6) mit $m(m+l)\,$ multiplicirt und hierauf das Product $m(m+1)S_{m}\,$ ersetzt durch

$-{\frac {1}{\ sin\theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}S_{m}}{\partial \varphi ^{2}}}$$-{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial S_{m}}{\partial \theta }}\right)}{\sin \theta \partial \theta }},$

was zulässig ist vermöge der partiellen Differentialgleichung, der $S_{m}\,$ Genüge leistet. Man erhält also aus (10) die Gleichung

$n(n+1)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}\sin \theta d\theta =m(m+1)\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }Q_{n}S_{m}\sin \theta d\theta ,\,$

wofür man auch schreiben kann