Schwere, Elektricität und Magnetismus:364

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 350
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Neunter Abschnitt. §. 109.

§. 109. Fundamentalsatz für die Entwicklung nach Kugelfunctionen.

 Es kommt nun vor allen Dingen darauf an, zu beweisen, dass eine Function von $\theta \,$ und $\varphi \,$, die für alle Werthe dieser Variabeln von $\theta =0\,$ bis $\theta =\pi \,$ und von $\varphi =0\,$ bis $\varphi =2\pi \,$ einwerthig und endlich, übrigens aber ganz willkürlich gegeben ist, sich immer nach Kugelfunctionen entwickeln lässt, und dass für jede willkürlich gegebene Function nur eine solche Entwicklung möglich ist.

 Zu dem Ende gehen wir auf die Gleichung (3) des §. 80 zurück, die hier so zu schreiben ist

(1)	$\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a-0}=4\pi \rho .\,$

Für $r>a\,$ erhalten wir nach (1) und (2) des §. 107

$V=-a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}\cdot {\biggl \{}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '{\biggl \}}.\,$

Daraus berechnet sich für $r>a\,$

(2)	${\frac {\partial V}{\partial r}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+2}\cdot {\biggl \{}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '{\biggl \}}.\,$

Dagegen haben wir für $r<a\,$ nach (1) und (3) des §. 107

$V=-a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}\cdot {\biggl \{}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '{\biggl \}}.\,$

Folglich ergibt sich für $r<a\,$

(3)	${\frac {\partial V}{\partial r}}=-\sum _{n=0}^{\infty }n\left({\frac {r}{a}}\right)^{n-1}\cdot {\biggl \{}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '{\biggl \}}.\,$

Die Gleichung (2) ist noch gültig für $r=a+0\,$, die Gleichung (3) für $r=a-0\,$. Setzen wir also in beiden Gleichungen $r=a\,$ und führen die in (1) vorgeschriebene Subtraction aus, so ergibt sich mit Rücksicht auf §. 106 (6) der merkwürdige Satz:

(4)	$f(\theta ,\varphi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot f(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.$