Neunter Abschnitt. §. 107.
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und da drr absolute Zahlwerth von
kleiner als
ist, so darf man auf der rechten Seite der letzten Gleichung den ersten Factor nach dem binomischen Lehrsatze entwickeln und jedes Glied der Reihe mit dem zweiten Factor ausmultipliciren. Dadurch ergibt sich
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Hier hat man die Potenzen von
mit negativen, gebrochenen Exponenten wieder nach dem binomischen Lehrsatze zu entwickeln und schliesslich nach ganzen Potenzen von
zu ordnen. Auf diesem Wege findet sich
(4)
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und für jedes ganze
, das grösser als
ist:
(5)
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Hiernach dürfen wir die Coefficienten
in (2) und (3) als bekannte Functionen von
ansehen.[1] Für
stimmen beide Entwicklungen überein. Werden die in (2) und (3) gewonnenen Reihen in die Gleichung (1) eingeführt, so ergibt sich
für einen Punkt im äusseren Raume
:
(6)
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- ↑ *) Andere Entwicklungen für
findet man im 17. Bande von Crelle’s Journal in der Abhandlung von Dirichlet: Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données. — Man vergleiche auch Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Berlin 1861. — Sidler, die Theorie der Kugelfunctionen. Bern 1861.