Schwere, Elektricität und Magnetismus:357

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 343
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Entwicklung der Function $V\,$ nach Kugelfunctionen.

 Auf diese Weise gelangt man zu einem völlig bestimmten Ausdrucke für die Function $V\,$, und wenn dieser hergestellt ist, so ergibt sich die Dichtigkeit der fingirten magnetischen Belegung der Erdoberfläche mit Hülfe der Gleichung (3) des §. 80.

 Nach diesem Ueberblick über den einzuschlagenden Weg gehen wir zu der Durchführung der Rechnung selbst über.

§. 107. Entwicklung der Function $V\,$ nach Kugelfunctionen.

 Das Element $d\sigma '\,$ der Kugeloberfläche vom Radius $a\,$ lässt sich ausdrücken

$d\sigma '=a^{2}\sin {\theta }d\theta 'd\varphi '.\,$

Führt man dies in die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen ein und benutzt die Gleichungen (4) und (6) desselben Paragraphen, so erhält man

(1)	$V\,=\,-\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\,\int _{0}^{\pi }{\frac {a^{2}f(\theta ',\varphi ')\sin {\theta '}d\theta '}{\sqrt {(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma }}}}$

Nun können wir für $r>a\,$ entwickeln:

(2)	$(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $={\frac {1}{r}}\left\lbrace P_{0}+P_{1}({\frac {a}{r}})+P_{2}({\frac {a}{r}})^{2}+\ldots +P_{n}({\frac {a}{r}})^{n}+\ldots \right\rbrace .$

Dagegen hat man für $r<a\,$:

(3)	$(a^{2}+r^{2}-2ar\cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $={\frac {1}{a}}{\bigg \lbrace }P_{0}+P_{1}({\frac {r}{a}})+P_{2}({\frac {r}{a}})^{2}+\ldots +P_{n}({\frac {r}{a}})^{n}+\ldots {\bigg \rbrace }.$

Die auftretenden Coefficienten $P_{0},\ P_{l},\ P_{2},\ldots P_{n}\ldots ,$ sind in beiden Entwicklungen dieselben. Es sind algebraische, rationale, ganze Functionen von $\cos {\gamma }\,$, und zwar jede von dem Grade, den ihr Index angibt. Es ist nicht schwer, einen Ausdruck für $P_{n}\,$ zu finden. Man hat nur zu beachten, dass die Gleichungen (2) und (3) auf der einen Entwicklung beruhen

(3)	$(1+\alpha ^{2}-2\alpha \cos {\gamma })^{-{\frac {1}{2}}}$ $=P_{0}+P_{1}\alpha +P_{2}\alpha ^{2}+\ldots +P_{n}\alpha ^{n}+\ldots ,\,$

wenn $\alpha \,$ positiv und kleiner als $1\,$ genommen wird. Man kann aber schreiben