Schwere, Elektricität und Magnetismus:330

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 316
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Achter Abschnitt. §. 95.

§. 95. Der erweiterte Satz von Lagrange: $\delta \int \limits _{0}^{t}(T-D+S)dt=0$.

 Wir betrachten ein System von bewegten materiellen Theilchen. Es sei $T\!$ die lebendige Kraft dieses Systems. Der Ausdruck für die zur Zeit $t\!$ geleistete Arbeit (das Potential) möge in zwei Theile zerlegt werden

$S+D,\,$

so dass $S\!$ nur von den Coordinaten der Theilchen abhängig ist, $D\!$ ausserdem noch von den Geschwindigkeiten. Wir bezeichnen mit $x,\,y,\,z$ die Coordinaten irgend eines der materiellen Punkte und schreiben zur Abkürzung ${\frac {dx}{dt}}=x',{\frac {dy}{dt}}=y',{\frac {dz}{dt}}=z'$, und entsprechend die zweiten Derivirten. Die Componenten der auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ wirkenden Kraft seien $X,\,Y,\,Z$. In dem Zeitelement $dt\!$, nach Ablauf der Zeit $t\!$, wird die Arbeit geleistet

(1)	$\sum (X\,x'+Y\,y'+Z\,z')dt.$

Die Summirung ist über sämmtliche Punkte auszudehnen. Diese Arbeit ist gleich dem Zuwachs, welchen das Potential in dem Zeitelement $dt\!$ erleidet:

(2)	$\sum (X\,x'+Y\,y'+Z\,z')dt=\left({\frac {dS}{dt}}+{\frac {dD}{dt}}\right)dt.$

Nun haben wir aber

(3)	${\frac {dS}{dt}}=\sum \left(x'{\frac {\partial S}{\partial x}}+y'{\frac {\partial S}{\partial y}}+z'{\frac {\partial S}{\partial z}}\right)$

(4)

${\begin{aligned}{\frac {dD}{dt}}&=\sum \left(x'{\frac {\partial D}{\partial x}}+y'{\frac {\partial D}{\partial y}}+z'{\frac {\partial D}{\partial z}}\right)\\&+\sum \left(x''{\frac {\partial D}{\partial x'}}+y''{\frac {\partial d}{\partial y'}}+z''{\frac {\partial D}{\partial z'}}\right).\\\end{aligned}}$

Aus der Gleichung (2) geht hervor, dass in ${\frac {dS}{dt}}+{\frac {dD}{dt}}$ kein Glied vorkommen darf, das nicht eine von den Geschwindigkeits-Componenten als Factor enthielte. Die Derivirte ${\frac {dS}{dt}}$ genügt dieser Bedingung. Damit dasselbe mit ${\frac {dD}{dt}}$ der Fall sei, darf in $D\!$ kein Glied vorhanden sein, in welchem die Geschwindigkeiten nur in