Schwere, Elektricität und Magnetismus:266

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 252
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Sechster Abschnitt. §. 68.

rechts in positivem Sinne des Umlaufs durch die Begrenzungscurve erstrecke.*)^[1]

In dem besonderen Falle, dass innerhalb des von der Curve umschlossenen Flächengebiets überall

(3)	${\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}=0$

ist, geht die Gleichung (2) über in

(4)	$\int (P\,dx+Q\,dy)=0.$

Uebrigens bleiben, wie man leicht sieht, die Sätze (2) und (4) auch dann gültig, wenn die Curve nicht durchaus in dem Quadranten der positiven $x\!$ und der positiven $y\!$ verläuft. Diese Voraussetzung dient nur zur leichteren Entwicklung des Beweises. Ist sie von vorn herein nicht erfüllt, so kann man, da die Curve sich nirgends ins Unendliche erstreckt, durch parallele Verschiebung der Axen es leicht erreichen, dass die verlangte Lage vorhanden ist.

§. 68. Das Integral $\int (X\,dx+Q\,dy+Z\,dz)$ .

Nach dieser Vorbereitung kehren wir zu dem Integral (4) des §. 66 zurück. Wir nehmen eine stetig gekrümmte Fläche zu Hülfe, die ganz im endlichen Gebiete liegt, und die den vorgeschriebenen Integrationsweg zur vollständigen und alleinigen Begrenzung hat. Die Gleichung dieser Fläche sei

(1)	$z=f(x,\,y).$

Da der vorgeschriebene Integrationsweg auf der Fläche liegt, so hat man in §. 66, (4)

dz={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy

zu setzen und aus $X,\,Y,\,Z\!$ die Coordinate $z\!$ mit Hülfe der Gleichung (1) zu eliminiren. Dadurch geht das Integral (4) des §. 66 über in

(2)	$\int \left\lbrace \left(X+Z\,{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)dx+\left(Y+Z\,{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dy\right\rbrace ,$

und hier ist die Integration durch die in der $xy\!$ -Ebene liegende Projection der gegebenen Curve zu erstrecken.

↑ *) Riemann. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. Göttingen 1851. Art. 7 und 8.

[1] *) Riemann. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. Göttingen 1851. Art. 7 und 8.

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