Schwere, Elektricität und Magnetismus:265

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 251
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Hülfssatz aus der Analysis.

Eintrittsstellen, dagegen negativ an allen Austrittsstellen. Bezeichnet man also (nach Zahlwerth und Vorzeichen) mit $dx_{k}\!$ die Projection von $ds_{k}\!$ auf der Axe der $x\!$, so ergibt sich

${\begin{aligned}&dx_{1}=dx_{3}=dx_{5}=\ldots =dx_{2n-1}=\delta x,\,\\\,\\&dx_{2}=dx_{4}=dx_{6}=\ldots =dx_{2n}=-\delta x.\,\\\end{aligned}}$

Danach finden wir

$\delta x\int {\frac {\partial P}{\partial y}}\delta y=\delta x(-P_{1}+P_{2}-P_{3}+\dotsb +P_{2n})$ $=-P_{1}\,dx_{1}-P_{2}\,dx_{2}-\dotsb -P_{2n}\,dx_{2n}.\!$

Das lässt sich kürzer schreiben

$\delta x\int {\frac {\partial P}{\partial y}}\delta y=-\sum P\,dx,$

wobei das Summenzeichen auf der rechten Seite bedeutet, dass die Werthe von $P\,dx$ an allen Eintritts- und Austrittsstellen des unendlich schmalen Flächenstreifens genommen werden sollen. Die Integration nach $x\!$ wird dadurch ausgeführt, dass man nicht einen einzelnen Flächenstreifen in Betracht zieht, sondern alle, die überhaupt (von Parallelen zur $y\!$-Axe begrenzt) das Flächengebiet durchschneiden. Folglich ergibt sich

$\iint {\frac {\partial P}{\partial y}}\delta x\,\delta y=-\int P\,dx$

und es ist die Integration rechts durch die ganze in sich zurücklaufende Curve zu erstrecken.

 In entsprechender Weise kommen wir zu der Gleichung

$\iint {\frac {\partial Q}{\partial x}}\delta y\,\delta x=-\int Q\,dy,$

und auch hier ist das Integral auf der rechten Seite (im positiven Sinne des Umlaufs) durch die ganze Curve zu erstrecken.

 Danach gelangen wir zu dem Resultat, dass

(2)	$-\iint \left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)\delta x\,\delta y=\int (P\,dx+Q\,dy)$

ist, vorausgesetzt, dass wir unter $P\!$ und $Q\!$ zwei Functionen von $x\!$ und $y\!$ verstehen, die einwerthig, endlich und stetig variabel sind innerhalb des Flächengebietes, über welches die Integration auf der linken Seite ausgedehnt wird, und dass man die Integration