Schwere, Elektricität und Magnetismus:265

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 251
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Hülfssatz aus der Analysis.


Eintrittsstellen, dagegen negativ an allen Austrittsstellen. Bezeichnet man also (nach Zahlwerth und Vorzeichen) mit die Projection von auf der Axe der , so ergibt sich



Danach finden wir



Das lässt sich kürzer schreiben



wobei das Summenzeichen auf der rechten Seite bedeutet, dass die Werthe von an allen Eintritts- und Austrittsstellen des unendlich schmalen Flächenstreifens genommen werden sollen. Die Integration nach wird dadurch ausgeführt, dass man nicht einen einzelnen Flächenstreifen in Betracht zieht, sondern alle, die überhaupt (von Parallelen zur -Axe begrenzt) das Flächengebiet durchschneiden. Folglich ergibt sich



und es ist die Integration rechts durch die ganze in sich zurücklaufende Curve zu erstrecken.

 In entsprechender Weise kommen wir zu der Gleichung



und auch hier ist das Integral auf der rechten Seite (im positiven Sinne des Umlaufs) durch die ganze Curve zu erstrecken.

 Danach gelangen wir zu dem Resultat, dass


(2)


ist, vorausgesetzt, dass wir unter und zwei Functionen von und verstehen, die einwerthig, endlich und stetig variabel sind innerhalb des Flächengebietes, über welches die Integration auf der linken Seite ausgedehnt wird, und dass man die Integration