Schwere, Elektricität und Magnetismus:227

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Bewegung der Kugeln.

ersten, ${\mathfrak {M}}_{2}$ die gesammte Ladung der zweiten Kugel ist. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (8), (9), (10), (11) des §.50 und (5), (6), (7), (8) des §. 51 haben wir dann

(6)	${\mathfrak {M}}_{1}=g\,E_{1}+h\,E_{2},$

(7)	${\mathfrak {M}}_{2}=g\,E_{2}+h\,E_{3}.$

Hieraus berechnet sich

(8)	$g={\frac {{\mathfrak {M}}_{1}E_{3}-{\mathfrak {M}}_{2}E_{2}}{E_{1}E_{3}-E_{2}^{2}}},\,$

(9)	$h={\frac {{\mathfrak {M}}_{2}E_{1}-{\mathfrak {M}}_{1}E_{2}}{E_{1}E_{3}-E_{2}^{2}}}.\,$

Dabei ist zu beachten, dass ${\mathfrak {M}}_{1}$ und ${\mathfrak {M}}_{2}$ gegebene constante Grössen sind. $E_{1},E_{2}\!$ und $E_{3}\!$ hängen ab von $a,\,b,\,c$ und den Wurzeln $\alpha _{1}\!$ und $\alpha _{2}\!$ der Gleichung (18) des §. 49. Diese Wurzeln sind aber selbst abhängig von $a,\,b,\,c$. Da nun $a\!$ und $b\!$ constant sind und nur der Abstand $c\!$ der Kugelmittelpunkte sich ändern kann, so sieht man, dass $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$ und folglich auch $g\!$ und $h\!$ Functionen von $c\!$ sind.

 Um die Bewegung der Kugeln zu untersuchen, hat man das Potential der gesammten Elektricitätsmenge auf sich selbst auszudrücken. Man erhält nach §.47, (4):

(10)	$P={\frac {1}{2}}\int Vd\varepsilon ,$

wenn das Integral über die Oberfläche beider Kugeln erstreckt wird. Es ist aber $V=g\!$ auf der ersten, $V=h\!$ auf der zweiten Kugel. Ferner ergibt sich durch Integration über die erste Kugel:

$\int d\varepsilon ={\mathfrak {M}}_{1};$

und durch Integration über die zweite Kugel:

$\int d\varepsilon ={\mathfrak {M}}_{2}.$

Folglich ist

$P={\frac {1}{2}}\,g\,{\mathfrak {M}}_{1}+{\frac {1}{2}}\,h\,{\mathfrak {M}}_{2},$

und wenn man aus (8) und (9) die Werthe von $g\!$ und $h\!$ einführt:

(11)	$P={\frac {{\mathfrak {M}}_{1}^{2}\,E_{3}-2{\mathfrak {M}}_{1}\,{\mathfrak {M}}_{2}\,E_{2}+{\mathfrak {M}}_{2}^{2}\,E_{1}}{2(E_{1}\,E_{3}-E_{2}^{2})}}.\,$