Schwere, Elektricität und Magnetismus:226

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Vierter Abschnitt. §. 53.

 Sind die Brüche ${\frac {a}{c}}$ und ${\frac {b}{c}}$ irrational, so kann man auf die Gleichungen (10) und (13) zurückgehen und zur Werthermittelung der unendlichen Reihen die Tafel zu Hülfe nehmen, welche Gauss der Abhandlung: Disquisitiones circa seriem infinitam*)^[1] beigegeben hat. Gauss schreibt:

(17)	$\Psi (z)=\lim \left\lbrace \lg m-\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {1}{z+k+1}}\right\rbrace$

für $\lim m=\infty \!$. Folglich ist

(10*)

$M_{1}+M_{4}=\,{\frac {abg}{c}}\left\lbrace \Psi \left(-{\frac {a}{c}}\right)-\Psi (0)\right\rbrace$

und

(13*)

$M_{2}+M_{3}={\frac {abg}{c}}\lim \left\lbrace \Psi \left(-{\frac {b}{c}}\right)-\Psi (0)\right\rbrace .$

Das Resultat der theoretischen Entwicklung stimmt überein mit dem Ergebnis der experimentellen Untersuchung.

§. 53. Fortsetzung: Bewegung der Kugeln.

 Wir kehren zurück zu der Voraussetzung, dass die Entfernung der Kugelmittelpunkte grösser ist als die Summe der Radien:

$c>a+b.\,$

Wir setzen zur Abkürzung:

(1)	$-ab\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{a(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}}=E_{1},$

(2)	$ab\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{c(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}=E_{2},$

(3)	$-ab\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{a(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}=E_{3},$

(4)	$M_{1}+M_{4}={\mathfrak {M}}_{1},\,$

(5)	$M_{2}+M_{3}={\mathfrak {M}}_{2}\,$

und machen die Bemerkung, dass ${\mathfrak {M}}_{1}\,$ die gesammte Ladung der

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1. *) Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Vol. II. Gottingae 1813. — Gauss’ Werke. Bd. 3. Göttingen 1866.