Schwere, Elektricität und Magnetismus:203

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 189
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Zwei elektrisch geladene Kugeln.

(7)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt=0.$

Wie aus dieser Bedingung die Differentialgleichungen der Bewegung abzuleiten, ist in den §§. 36 bis 42 auseinandergesetzt.

§. 48. Beispiel: Zwei elektrisch geladene Kugeln.

Wir wenden uns zu der Behandlung einer speciellen Aufgabe. Es seien als Leiter zwei Kugeln gegeben, deren Radien $a\!$ und $b\!$ sind und deren Mittelpunkte die Entfernung $c\!$ haben, die grösser als $a+b\!$ vorausgesetzt wird. In den Isolatoren soll keine Elektricität vorhanden sein. Jedem der beiden Leiter ist eine gewisse Elektricitätsmenge mitgetheilt, und nach Eintritt des Gleichgewichtszustandes hat die Potentialfunction $V\!$ im Innern und auf der Oberfläche der beiden Kugeln je einen constanten Werth. Wir bezeichnen denselben mit $g\!$ für die erste Kugel, mit $h\!$ für die zweite Kugel.

Die Aufgabe besteht darin, die Potentialfunction $V\!$ , von den Werthen $g\!$ und $h\!$ in den Kugeloberflächen ausgehend, so in den äusseren Raum fortzusetzen, dass sie überall endlich und stetig verläuft, dass sie in unendlicher Entfernung gleich Null wird wie der reciproke Werth des Abstandes von dem Anfangspunkte der Coordinaten, und dass sie überall der partiellen Differentialgleichung genügt:

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

Die Derivirten von $V\!$ sind dann ebenfalls überall endlich und ändern sich stetig, ausser beim Durchgange durch die eine oder die andere Kugeloberfläche.

Diese Aufgabe lässt sich nach der Methode von Green behandeln. Die Hülfsfunction $U\!$ ist dann eine Potentialfunction, die von der im Punkte $(x',\,y',\,z')$ des äusseren Raumes concentrirt gedachten negativen elektrischen Einheit*)^[1] herrührt unter der Vor-

↑ *) Ueber diese physikalische Bedeutung von $U\!$ vergleiche man die erste Anmerkung auf Seite 144. Der Umstand, dass Green dort die Einheit positiver Elektricität im Punkte $(x',\,y',\,z')$ concentrirt denkt, während hier gerade die entgegengesetzte Einheit verlangt wird, könnte auffällig erscheinen. Er ist aber leicht zu erklären. Bei elektrostatischen Kräften ist nemlich die Green'sche Potentialfunction gerade das Entgegengesetzte von dem, was hier als Potentialfunction definirt worden ist. Soll also eine und dieselbe Function (die Hülsfunction $U\!$ ) als eine Potentialfunction, herrührend von elektrostatischen Kräften, angesehen werden, so ist klar, dass man die fingirte Ladung mit entgegengesetzten Vorzeichen zu nehmen hat, je nachdem für die Potentialfunction die Definition von Green, oder die hier aufgestellte Definition in Anwendung kommen soll.

WS: Die auf der nächsten Seite fortgesetzte Anmerkung wurde hier vervollständigt

[1] *) Ueber diese physikalische Bedeutung von $U\!$ vergleiche man die erste Anmerkung auf Seite 144. Der Umstand, dass Green dort die Einheit positiver Elektricität im Punkte $(x',\,y',\,z')$ concentrirt denkt, während hier gerade die entgegengesetzte Einheit verlangt wird, könnte auffällig erscheinen. Er ist aber leicht zu erklären. Bei elektrostatischen Kräften ist nemlich die Green'sche Potentialfunction gerade das Entgegengesetzte von dem, was hier als Potentialfunction definirt worden ist. Soll also eine und dieselbe Function (die Hülsfunction $U\!$ ) als eine Potentialfunction, herrührend von elektrostatischen Kräften, angesehen werden, so ist klar, dass man die fingirte Ladung mit entgegengesetzten Vorzeichen zu nehmen hat, je nachdem für die Potentialfunction die Definition von Green, oder die hier aufgestellte Definition in Anwendung kommen soll.

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