Schwere, Elektricität und Magnetismus:202

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 188
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Vierter Abschnitt. §. 47.

${\frac {1}{2}}$ vorangesetzt. Dies ist das Potential der gesammten Elektricität auf sich selbst.

 Nun haben wir aber

$V=-\int \,{\frac {d\varepsilon '}{r}}\,$

als Ausdruck für die Potentialfunction im Punkte $(x,\,y,\,z)$ gefunden, d. h. für das Potential aller elektrischen Massen auf die in diesem Punkte concentrirt gedachte positive elektrische Einheit. Wir können also auch schreiben

(4)	$P={\frac {1}{2}}\,\int Vd\varepsilon .\,$

In dem Falle, dass die Isolatoren keine elektrische Ladung enthalten, ist die Integration nur über die Oberflächen der Leiter zu erstrecken. In jeder Leiter-Oberfläche ist aber $V\!$ constant, und zwar der Reihe nach gleich $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}$. Also wird jetzt

$P={\frac {1}{2}}\,a_{1}\int \rho \,d\sigma _{1}+\,{\frac {1}{2}}\,a_{2}\int \rho \,d\sigma _{2}+\dotsb +{\frac {1}{2}}\,a_{k}\int \rho \,d\sigma _{k}$

oder, mit Rücksicht auf die Gleichungen (8) und (9) des §. 45:

(5)	$P={\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{k}\,\alpha _{i}m_{i}.\,$

 Um die Bewegung der Leiter zu bestimmen, hat man $P\!$ als Function von den Ortscoordinaten der Leiter auszudrücken. Die Grössen $m_{1},\,m_{2},\ldots m_{k}$ sind dabei constant, es sind die den Leitern ursprünglich mitgetheilten Elektricitätsmengen. Die Grössen $a_{1},\,a_{2},\ldots \,a_{k}$ sind in den Gleichungen (7) des vorigen Paragraphen ausgedrückt, wenn man darin für den hier vorliegenden Fall die Grössen $\beta _{1},\,\beta _{2},\ldots \beta _{k}$ gleich Null setzt. Danach sind die Grössen $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}$ homogene lineare Functionen von $m_{1},\,m_{2},\ldots m_{k}$ und nur die auftretenden Coefficienten $\alpha \!$ sind von den Ortscoordinaten der Leiter abhängig. Wir erhalten

(6)	$P={\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}\,\alpha _{ij}m_{i}m_{j}.\,$

Wir bezeichnen wieder mit $T\!$ die lebendige Kraft des Leitersystems. Die Bewegung der Leiter geht dann so vor sich, dass