Schwere, Elektricität und Magnetismus:176

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 162
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Dritter Abschnitt §. 39.

freie Bestandtheil auf der rechten Seite der letzten Gleichung weg, und wir erhalten

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta x_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta x_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}dt.$

Auf demselben Wege findet sich

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dy_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta y_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta y_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}dt,$

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {dz_{i}}{dt}}{\frac {d\,\delta z_{i}}{dt}}dt=-\int \limits _{0}^{t}\delta z_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}dt.$

 Folglich geht jetzt die Gleichung (3) in folgende über:

(5)	$0=\int \limits _{0}^{t}dt\left\lbrack \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}\right.$

${\begin{aligned}&+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}\\&+\sum _{i=1}^{n}\left.\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrack .\\\end{aligned}}$

Zu ihrer Erfüllung ist nothwendig und hinreichend, dass für jeden Zeitmoment die Function unter dem Integralzeichen gleich Null sei, also:

(6)

$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$

$=0.\!$

Dies ist aber die Gleichung (2). Folglich ist bewiesen, dass das Princip des Lagrange bei dem Vorhandensein eines Potentials durch die Gleichung (3) ausgedrückt wird.

 In unserm Falle ist das System frei. Die 3 $n\!$ Variationen der Coordinaten sind also von einander unabhängig. Demnach zerfällt die Gleichung (6) in 3 $n\!$ einzelne Gleichungen, indem — wie schon oben bemerkt — für sich gleich Null zu setzen ist, was mit jeder einzelnen von den 3 $n\!$ Variationen multiplicirt vorkommt. Also findet sich