Schwere, Elektricität und Magnetismus:174

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 160
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Dritter Abschnitt. §. 39.

§. 39. Das Princip des Lagrange für ein freies System. Die Gleichung: $\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=0.$

 Das Princip des Lagrange ist für ein freies System in der Gleichung ausgesprochen:

(1)	$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left(X_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left(Y_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left(Z_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$

$=0.\!$

Darin sind die 3 $n\!$ Variationen der Coordinaten von einander unabhängig. Man hat also zur Erfüllung der Gleichung (1) für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Auf diese Weise erhält man für die $n\!$ Punkte des Systems die 3 $n\!$ Differentialgleichungen der Bewegung.

 Wenn die auf die Punkte einwirkenden Kräfte so beschaffen sind, dass ein Potential vorhanden ist, so lässt die Gleichung (1) sich schreiben:

(2)

$\sum _{i=1}^{n}\left\lbrace \left({\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\delta z_{i}\right\rbrace$

$=0.\!$

Dafür gibt es aber einen kürzeren Ausdruck, nemlich

(3)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)dt=0.$

Diese Gleichung ist so zu verstehen. Aus einer gegebenen Anfangslage (für $t=0\!$) kann man sich die Punkte des Systems in eine gegebene Endlage (zur Zeit $t\!$) auf unendlich vielen verschiedenen Wegen übergeführt denken. Für jeden Uebergang auf bestimmten Wegen hat das Integral

(4)	$\int \limits _{0}^{t}(T+P)dt$

einen bestimmten Werth, der aber sich ändert, sobald die Wege der einzelnen Punkte des Systems geändert werden. Vergleicht