Schwere, Elektricität und Magnetismus:101

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 87
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Die Green’sche Function $U\,$ für ein Parallelepipedon.

oder, wenn man jetzt $(-1)^{h+1}(k-h-1)=\lambda \,$ setzt:

(7)	$\lbrace \lambda \,a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}.\,$

Auch hier hat man bei der Summirung die Grösse $\lambda \,$ allen ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ der Reihe nach gleichzusetzen. Folglich ergibt sich für den zweiten Punkt

(8)	$U_{2}=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{h+1}(-1)^{\lambda +m+n}}{\sqrt {N_{1}}}},\,$

und es hat hier $N_{1}\,$ dieselbe Bedeutung wie vorher in der Gleichung (6). Aus (6) und (8) erkennt man ohne weiteres, dass

(9)	$U_{2}=-U_{1}\,$

ist. Nimmt man nun speciell $\xi =(-1)^{h}{\frac {a}{2}}$, so fallen beide Punkte zusammen in einen und denselben Punkt der Ebene (2). Da die Function $U\,$ einwerthig ist, so muss in diesem Falle

$U_{2}=U_{1}\,$

sein, und dies gibt mit Rücksicht auf (9):

(10)	$U_{1}=U_{2}=0.\,$

 Auf demselben Wege ist der Beweis zu führen, wenn die beiden Punkte symmetrisch liegen zu einer Ebene der zweiten oder der dritten Schaar. Demnach erfüllt der Ausdruck (1) auch die erste der aufgestellten Bedingungen.

 Dies kann man auch aus der mechanischen Bedeutung der durch (1) ausgedrückten Function $U\,$ erkennen. Danach ist nemlich $U\,$ die Potentialfunction für den Fall, dass in jedem Unstetigkeitspunkte eine Masseneinheit concentrirt ist, und zwar die positive oder die negative, je nachdem $k+m+n\,$ gerade oder ungerade ist. Da eine positive Masse den Punkt $(x,\,y,\,z)$ anzieht, so ist die Bedeutung der negativen Masse leicht zu erkennen. Sie stösst den Punkt ab. Nehmen wir nun irgend eine Ebene aus den drei Schaaren, so findet sich zu jedem anziehenden Massenpunkte ein abstossender, so dass beide in Beziehung auf die Ebene symmetrisch liegen. Von einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ in dieser Ebene haben demnach beide Massenpunkte gleiche Entfernung. Ihre Massen sind entgegengesetzt gleich. Sie liefern also zu der Potentialfunction den Beitrag Null. Dies gilt aber von allen mit Masse erfüllten Punkten, und daher ist der Werth der Potentialfunction für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Ebene überhaupt gleich Null.