Schwere, Elektricität und Magnetismus:100

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 86
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Zweiter Abschnitt. §. 23.

ein Nenner in vorgeschriebener Weise zu Null, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in einen Unstetigkeitspunkt hineinrückt. Endlich nimmt die Function entgegengesetzte Werthe an für irgend welche zwei Punkte, die symmetrisch liegen zu irgend einer Ebene aus den drei Schaaren. Betrachten wir z. B. zwei Punkte $(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$ und $(x_{2},\,y_{2},\,z_{2})$, die zu einer Ebene der ersten Schaar symmetrisch liegen. Dies ist der Fall, wenn die Coordinaten den Gleichungen genügen

$x_{1}=h\,a+(-1)^{h}\xi ,\quad y_{1}=y,\quad z_{1}=z,\,$ $x_{2}=(h+1)a+(-1)^{h+1}\xi ,\quad y_{2}=y,\quad z_{2}=z,\,$

worin $h\,$ irgend eine ganze Zahl ist. Die Punkte liegen symmetrisch zu der Ebene.

(2)	$x=\left(h+{\frac {1}{2}}\right)a.\,$

Der Ausdruck unter dem dreifachen Summenzeichen unterscheidet sich für die beiden Punkte nur in dem ersten Quadrat unter dem Wurzelzeichen des Nenners. Dasselbe lautet für den ersten Punkt

(3)	$\lbrace (k-h)a+(-1)^{k}\,x'-(-1)^{h}\xi \rbrace ^{2}\,$

und für den zweiten Punkt

(4)	$\lbrace (k-h-1)a+(-1)^{k}\,x'-(-1)^{h+1}\xi \rbrace ^{2}.\,$

Statt des Ausdruckes (3) kann man auch schreiben

$\lbrace (-1)^{h}(k-h)a+(-1)^{k-h}x'-\xi \rbrace ^{2}\,$

oder, wenn man $(-1)^{h}(k-h)=\lambda \,$ setzt:

(5)	$\lbrace \lambda a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}.\,$

Da $k\,$ allen ganzen Zahlen von $-\infty$ bis $+\infty$ der Reihe nach gleichgesetzt werden soll, so gilt dasselbe von $\lambda \,$. Für den ersten Punkt erhalten wir also

(6)	$U_{1}=\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }\sum _{-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{h}(-1)^{\lambda +m+n}}{\sqrt {N_{1}}}},\,$

wobei zur Abkürzung $N_{1}\,$ geschrieben ist für die Summe der drei Quadrate

$\lbrace \lambda a+(-1)^{\lambda }x'-\xi \rbrace ^{2}+\lbrace mb+(-1)^{m}y'-y\rbrace ^{2}+\lbrace nc+(-1)^{n}z'-z\rbrace ^{2}.\,$

Statt des Ausdruckes (4) kann man schreiben

$\lbrace (-1)^{h+1}(k-h-1)a+(-1)^{k-h-1}x'-\xi \rbrace ^{2}\,$