Schwere, Elektricität und Magnetismus:097

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 83
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V\,

ist durch die Kennzeichen (§. 18) eindeutig bestimmt.

endlicher Nähe der anziehenden Fläche $V_{+0}=V_{-0}\!$ . Danach wird aus der Gleichung (2), wenn man den Beitrag (4) des vorigen Paragraphen in Betracht zieht:

4\pi \,V'=-\int {\frac {1}{r}}\left\{\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\}d\sigma .

Hier hat $p\!$ dieselbe Bedeutung wie in der Gleichung (3) des §. 18. Vermöge dieser Gleichung erhalten wir also

(4)	$V'=\int \rho \,{\frac {d\sigma }{r}}.$

Die Integration ist über die anziehende Fläche auszudehnen.

Es sei drittens die anziehende Masse nur über eine Linie ausgebreitet und keine endliche Masse in einzelnen Punkten concentrirt. Dann ist in dem ganzen unendlichen Raume

{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,

In unendlicher Nähe der anziehenden Linie gilt die Gleichung (4) des §. 18. Folglich erhalten wir zu dem Oberflächen-Integral der Gleichung (2) den Beitrag [§. 21, (5)]:

4\pi \int \rho \,{\frac {ds}{r}},\,

und die Gleichung (2) gibt jetzt

(5)	$V'=\int \rho \,{\frac {ds}{r}}.\,$

Das Integral ist über die anziehende Linie zu erstrecken.

Wenn endlich viertens die anziehende Masse $m\!$ in einem einzigen Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirt ist, so gilt wieder für den unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung

{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,

Ausserdem haben wir die Gleichung (5) des §. 18. In Folge davon ergibt sich zu dem Oberflächen-Integral der Gleichung (2) der Beitrag [§. 21, (6)]

{\frac {4\,\pi \,m}{r}},\,

und wir erhalten aus Gleichung (2):

(6)	$V'={\frac {m}{r}}.\,$