Schwere, Elektricität und Magnetismus:096

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 82
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Zweiter Abschnitt. §. 22.

$\lim R^{2}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\,\cos(Rx)+{\frac {\partial V}{\partial y}}\,\cos(Ry)+{\frac {\partial V}{\partial z}}\,\cos(Rz)\right)=-M$

oder kürzer

$\lim \left(R^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial R}}\right)=-M,\,$

und daraus sieht man, dass

$\lim \left(R\,{\frac {\partial V}{\partial R}}\right)=0$ für $R=\infty .\,$

Das Integral, über die Kugelfläche vom Radius $R\!$ erstreckt, ist also Null, und deshalb hat man in (2) das Oberflächen-Integral nur noch über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen von $V\!$ und seinen ersten Derivirten auszudehnen.

 Es sei nun erstens die anziehende Masse über einen im endlichen Gebiete völlig begrenzten Körper stetig vertheilt und nirgends eine endliche Masse über eine Fläche oder eine Linie ausgebreitet oder in einzelnen Punkten concentrirt. Dann sind die Function $V\!$ und ihre ersten Derivirten überall endlich und stetig. Es fällt also in (2) das Oberflächen-Integral gänzlich weg. Die Summe der zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ist aber Null, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des anziehenden Körpers liegt, und gleich $-4\pi \rho \!$, wenn er innerhalb liegt. Dies ist in den partiellen Differentialgleichungen (1) und (2) des §.18 ausgesprochen. Danach erhält man aus der Gleichung (2) des gegenwärtigen Paragraphen, wenn man noch den Factor $4\pi \!$ auf beiden Seiten weglässt:

(3)	$V'=\iiint \rho \,{\frac {dx\,dy\,dz}{r}}.$

Die dreifache Integration ist über den mit Masse erfüllten Raum auszudehnen.

 Wir nehmen zweitens den Fall, dass die anziehende Masse allein ausgebreitet ist über eine im endlichen Gebiete völlig begrenzte Fläche, und dass in einzelnen Linien oder Punkten eine endliche Masse nicht vorhanden ist. Alsdann ist im ganzen unendlichen Raume

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

Ferner ist $V\!$ überall endlich und stetig variabel, folglich in un-