Schwere, Elektricität und Magnetismus:072

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 58
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Erster Abschnitt. §. 16.

§. 16. Die anziehende Masse ist über eine unendliche gerade Linie vertheilt.

 Wir gehen zu dem abstracten Falle über, dass die Masse in einer Linie vertheilt ist. Unter der Dichtigkeit $\rho \,$ im Punkte $(a,\,b,\,c)$ dieser Linie verstehen wir den Quotienten, den man erhält, wenn die Masse des an den Punkt anstossenden Linienelementes $ds\,$ durch die Länge dieses Elementes dividirt wird. Die Dichtigkeit soll in jedem Punkte der Linie endlich sein und, wenn nichts anderes ausdrücklich gesagt ist, an keiner Stelle sich sprungweise ändern.

 Zunächst nehmen wir den einfachsten Fall, dass die Masse mit constanter Dichtigkeit in einer unbegrenzten geraden Linie vertheilt ist. Wir legen in sie die Axe der $x\,$. Das an den Punkt $(a,\,0,\,0)$ anstossende Massenelement ist $\rho \,da$. Die Entfernung von dem angezogenen Punkte $(x,\,y,\,z)$ist $r={\sqrt {(a-x)^{2}+y^{2}+z^{2}}}$. Statt mit ${\frac {1}{r}}$ darf man auch mit ${\frac {1}{r}}+\varphi (a)$ multipliciren und hat demnach

(1)	$V=\rho \int \limits _{-\infty }^{+\infty }da\left({\frac {1}{r}}+\varphi (a)\right).$

Denn die Derivirten dieser Function nach $x\,$ oder nach $y\,$ oder nach $z\,$ sind dieselben, als wenn unter dem Integral einfach ${\frac {da}{r}}$ stände. Die Function $\varphi (a)\,$ wird eingeführt, weil das Integral

$\int {\frac {da}{r}}$

keine Bedeutung mehr hat, wenn die Grenzen $-\infty \,$ und $+\infty \,$ genommen werden. Man hat deshalb $\varphi (a)\,$ so einzurichten, dass das Integral (1) einen bestimmten, angebbaren Werth erhalte. Wir setzen

$\varphi (a)=-{\frac {1}{a}}\,$ für $a\geq k\,$ $\varphi (a)=0\,$ für $k>a>-k\,$ $\varphi (a)=+{\frac {1}{a}}\,$ für $a\leq -k\,$

und verstehen unter $k\,$ eine beliebige endliche, positive Grösse. Die unbestimmte Integration