Schwere, Elektricität und Magnetismus:068

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 15.

der positiven $y\,$ den Winkel $\varphi \,$ einschliesst. Diese Ebene schneidet die $yz\,$Ebene in der geraden Linie, auf welcher $s\,$ gezählt wird.

Fig. 9.

Da nun die $\,yz$Ebene die anziehende Fläche berührt, so ist (Fig. 9) die Axe der $s\,$ im Anfangspunkte der Coordinaten Tangente an der Curve, in welcher die Fläche von der Hülfsebene geschnitten wird, und es findet sich

$\lim {\frac {a}{s}}={\frac {\partial a}{\partial s}}=0\,$ für $s=0.\,$

Folglich lautet das Ergebnis

$\left[-{\frac {a-x}{r}}k\right]_{s=0}={\begin{cases}\;\,\rho _{0}&f{\ddot {u}}r\;x>0,\\\;0&f{\ddot {u}}r\;x=0,\\-\rho _{0}&f{\ddot {u}}r\;x<0.\end{cases}}$

An der oberen Grenze $S\,$ sei $k=K,\ r=R,\ a=A\,$. Die Grössen $K,\,R$ und $A\,$ sind endliche und stetige Functionem von $\varphi \,$. Man findet also

(4)	${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{S}{\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=C&-{\frac {A-x}{R}}K\\&+\int \limits _{0}^{S}{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds+\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds,\\\end{aligned}}$

und die Constante $C\,$ hat den Werth $-\rho _{0}\,$ oder $+\rho _{0}\,$ oder $0\,$, je nachdem $x\,$ positiv oder negativ oder Null ist. Die Function ${\frac {A-x}{R}}K$ hat immer einen endlichen Werth, der sich nur unendlich wenig ändert, wenn $x\,$ von unendlich kleinen negativen durch Null zu unendlich kleinen positiven Werthen übergeht.

 Es bleibt noch übrig, die beiden Integrale auf der rechten Seite der Gleichung (4) zu untersuchen. Wir zerlegen das Intervall von $0\,$ bis $S\,$ in zwei, nemlich von $0\,$ bis zu einer beliebig kleinen Grösse $\nu \,$ und von $\nu \,$ bis $S\,$. Die Grösse $\nu \,$ soll so klein gewählt werden, dass ${\frac {\partial k}{\partial s}}$ zwischen $s=0\,$ und $s=\nu \,$ sein Vorzeichen nicht ändert. Da ${\frac {a-x}{r}}$ ein echter Bruch ist, auch für $x=0\,$, so ist der absolute Werth des Integrals