Schwere, Elektricität und Magnetismus:067

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 53
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Die Masse ist über eine Fläche ausgebreitet.

Multiplicirt man hier auf beiden Seiten mit $\left(a-x\right)k\,ds$ und integrirt, so findet sich

$\int {\frac {a-x}{r^{3}}}\,k\,s\,ds=-\int \left(a-x\right)k\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}\,ds-\int {\frac {\left(a-x\right)^{2}}{r^{3}}}\,k\,{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds.$

Den ersten Bestandtheil der rechten Seite transformiren wir durch Integration nach Theilen:

${\begin{aligned}-\int \left(a-x\right)k{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}\\&+\int {\frac {1}{r}}\left\lbrace \left(a-x\right){\frac {\partial k}{\partial s}}+k{\frac {\partial a}{\partial s}}\right\rbrace ds.\\\end{aligned}}$

Demnach ist

${\begin{aligned}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}+\int {\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds\\&+\int k{\frac {\partial a}{\partial s}}{\frac {r^{2}-\left(a-x\right)^{2}}{r^{3}}}ds,\\\end{aligned}}$

d. h. kürzer

${\begin{aligned}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}+\int {\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds\\&+\int k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds.\\\end{aligned}}$

Handelt es sich um die bestimmte Integration zwischen den Grenzen $0\,$ und $S\,$, so hat man den Werth von $-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}$ an diesen Grenzen zu ermitteln. Für $s=0\,$ ist $\cos \alpha =1\,$, folglich $k=\rho _{0}\,.$ Ferner ist für $s=0\,$ auch $a=0\,$ und deshalb:

$\left[-{\frac {a-x}{r}}\right]_{0}=-{\frac {-x}{\sqrt {\left(-x\right)^{2}}}}={\begin{cases}+1,&{\rm {{f{\ddot {u}}r}\;x>0,}}\\-1,&{\rm {{f{\ddot {u}}r}\;x<0.}}\end{cases}}$

 Nehmen wir $x=0\,$, so ist

${\frac {a-x}{r}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}={\frac {\frac {a}{s}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{s^{2}}}}}}.$

Es fragt sich also, was aus ${\frac {a}{s}}$ wird für $s=0\,$. Wir legen eine Ebene, welche die Axe der $x\,$ in sich enthält und mit der Axe