Schwere, Elektricität und Magnetismus:063

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 49
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Die Masse ist über eine Fläche ausgebreitet.

Von $\,V_{2}$ ist schon oben nachgewiesen, dass es endlich und stetig variabel ist. Folglich ist auch

$\lim dV=\lim dV_{1}+\lim dV_{2}=0,$

d. h. die Function $V\,$ ist endlich, wenn auch der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in die anziehende Fläche hineinfällt, und der Werth von $V\,$ ändert sich stetig, wenn der Punkt in der Fläche stetig verschoben wird. Bezeichnen wir mit $ds\,$ eine unendlich kleine Verschiebung in der Fläche, so hat der Differentialquotient ${\frac {\partial \,V}{\partial s}}$ einen bestimmten, endlichen Werth. Er ist nur unendlich wenig von den Werthen verschieden, welche derselbe Differentialquotient annimmt, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der einen oder auf der anderen Seite unendlich nahe an der Fläche liegt. Der Differentialquotient ist identisch mit der Componente der Anziehung in der Richtung von $ds\,$, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ nicht in der Fläche liegt. Fällt aber der Punkt in die Fläche, so ist zwischen dem Differentialquotienten ${\frac {\partial \,V}{\partial s}}$ und der Componente der Anziehung zu unterscheiden. Jener behält, wie eben bewiesen, einen bestimmten angebbaren Werth. Diese wird völlig unbestimmt, weil das Integral, durch welches sie ausgedrückt wird, jede Bedeutung verliert, sobald der angezogene Punkt in die anziehende Fläche fällt.

 Fasst man aber eine Verschiebung auf der Normale ins Auge, so findet sich, dass die Componente der Anziehung $P\,$ in der Richtung dieser Verschiebung und die Derivirte ${\frac {\partial \,V}{\partial p}}$ in derselben Richtung identisch sind, falls der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der positiven oder der negativen Normale der Fläche unendlich nahe genommen wird. Legt man ihn aber in die Fläche selbst, so hat die Componente der Anziehung einen bestimmten Werth, die Derivirte ${\frac {\partial \,V}{\partial p}}$ ist dagegen völlig unbestimmt.

 Um dies zu beweisen, errichten wir auf der Stelle, in welche der Punkt $(x,\,y,\,z)$ hineinrücken soll, die Normale und tragen auf ihr die unendlich kleinen Strecken $p=+\varepsilon \,$ und $p=-\varepsilon \,$ ab. Die Componente der Anziehung in der Richtung der positiven Normale werde resp. mit $P_{0},\;P_{+\varepsilon },\;P_{-\varepsilon }$ bezeichnet, je nachdem der angezogene Punkt auf der Normale in ihrem Fusspunkte liegt oder um die Strecke $+\varepsilon \,$ oder $-\varepsilon \,$ von dem Fusspunkte entfernt. Ein Flächenelement, in dessen Begrenzung der Fusspunkt der Normale