Schwere, Elektricität und Magnetismus:024

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 3.

gehende Aenderung der Potentialfunction durch die Grösse der Verschiebung zu dividiren. Der Quotient ist die gesuchte Componente.

 Der Fall, dass die anziehende Masse in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt ist, wird in der Folge nur ausnahmsweise vorkommen. Bis auf weiteres halten wir die Voraussetzung fest, dass sie einen körperlichen Raum stetig ausfüllt.

§. 3. Die Gleichung von Laplace.

 Wir bilden die zweiten partiellen Derivirten der Function $V\,$:

(1)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(a-x)^{2}}{r^{5}}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(b-y)^{2}}{r^{5}}}\right),$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=\iiint {\rho }\ da\ db\ dc\ \left(-{\frac {1}{r^{3}}}+3\,{\frac {(c-z)^{2}}{r^{5}}}\right)$.

 Daraus findet sich unmittelbar durch Addition

(2)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

 Diese Gleichung, welche zuerst Laplace*)^[1] gefunden hat, wird nach ihm die Gleichung von Laplace genannt.

 Sie gilt jedoch nur, wenn der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Masse liegt. Laplace hielt sie für allgemein gültig. Diesen Irrthum hat Poisson später berichtigt.**)^[2]

 Liegt nemlich der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Massen, so ist für jeden Punkt $(a,\,b,\,c)$ des mit Masse erfüllten Raumes die Function ${\frac {1}{r}}$ eine endliche und stetig veränderliche Function von $(x,\,y,\,z)$. Dasselbe gilt von allen ihren De-

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1. *) Théorie des attractions des Sphéroïdes et de la figure des Planètes. Par M. de la Place. (Histoire de l’Académie des Sciences 1782.)
2. **) Bulletin de la société philomatique. Tome 3, Page 368. - Ferner: Poisson. Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement. (Mémoires de l’Académie royale des Sciences de l’Institut de France. Tome 6, Page 463.) - Mémoire sur l’attraction des sphéroïdes. (Connaissance des temps. 1829. Page 360.)