Schwere, Elektricität und Magnetismus:018

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 1.

(2)	$r={\sqrt {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}}},\,$

und die von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)$ gerichtete gerade Linie von der Länge $r\,$ schliesst mit den positiven Coordinatenaxen Winkel ein, deren Cosinus die Werthe haben

(3)	$\cos(rx)={\frac {a-x}{r}},\,$ $\cos(ry)={\frac {b-y}{r}},\,$ $\cos(rz)={\frac {c-z}{r}}.\,$

 Die Kraft, mit welcher die Masse $\mu \,$ von der Masse $m\,$ angezogen wird, ist von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)$ hin gerichtet. Die Componenten dieser Kraft parallel den Coordinatenaxen sind demnach resp.

(4)	$k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {a-x}{r}},\,$ $k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {b-y}{r}},\,$ $k\mu \cdot {\frac {m}{r^{2}}}\cdot {\frac {c-z}{r}}.\,$

 Es werde ferner die Masse $\mu \,$ von mehreren Massen $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,\ldots \,m_{n}$ angezogen. Irgend eine dieser anziehenden Massen werde mit $m_{i}\,$ bezeichnet. Sie sei im Punkte $(a_{i},\,b_{i},\,c_{i})$ concentrirt. Der Abstand $r_{i}\,$ dieses Punktes von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$ findet sich, indem man in (2) an die Stelle von $a,\,b,\,c$ resp. $a_{i},\,b_{i},\,c_{i}$ setzt. Die Masse $m_{i}\,$ übt auf die Masse $\mu \,$ eine Anziehung aus, deren Componenten aus (4) hervorgehen, wenn man dort den Grössen $m,\,a,\,b,\,c,\,r$ den Index $i\,$ gibt. Wird dann für $i\,$ der Reihe nach $1,\,2,\,3,\,\ldots \,n$ gesetzt, so ergeben sich die Componenten der einzelnen Kräfte, mit welchen die Masse $\mu \,$ resp. von den Massen $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,\ldots \,m_{n}$ angezogen wird. Alle diese Componenten greifen im Punkte $(x,\,y,\,z)$ an. Handelt es sich um die Gesammtwirkung, so hat man nur die gleichnamigen Componenten zu summiren. Die Masse $\mu \,$ wird also durch eine Gesammtkraft $\,P$ in Anspruch genommen, deren Componenten parallel den Coordinatenaxen sich berechnen: