Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 91.

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§. 91. Ampère’s Gesetz.

 Aus der Function $P\,$ lässt sich die Kraft finden, mit der die beiden Stromelemente $ds\,$ und $ds'\,$ auf einander wirken. Wir bezeichnen mit $F\,ds\,ds'\,$ die abstossende Kraft, welche $ds\,$ und $ds'\,$ in der Richtung von $r\,$ auf einander ausüben. Denken wir uns, dass während der unendlich kleinen Zeit $dt\,$ die Entfernung $r\,$ sich um $\delta r\,$ geändert habe, so ist die bei der Verschiebung der Elemente $ds\,$ und $ds'\,$ geleistete Arbeit

$F\,ds\,ds'\,\delta r,$

und die Gesammtarbeit bei der Verschiebung beider geschlossenen Leiter

$\iint F\,ds\,ds'\delta r.\,$

Diese Gesammtarbeit ist gleich der Aenderung von $P\,$. Wir haben also die Gleichung

(1)	$\delta P=\iint F\,ds\,ds'\,\delta r.\,$

Nun berechnet sich aber aus der Gleichung (5) des vorigen Paragraphen

$\delta P=-{\frac {1}{2}}J\,J'\iint ds\,ds'\left\lbrace -{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}\delta r+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\,\delta \,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}\right\rbrace .\,$

Der zweite Bestandtheil auf der rechten Seite ist noch durch Integration nach Theilen umzuformen. Man erhält, indem man unbestimmt integrirt:

$\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\delta \,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}ds'={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \,\delta (r^{2})}{\partial s}}-\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}{\frac {\partial \,\delta (r^{2})}{\partial s}}ds'.\,$

Setzt man die Grenzen ein, so verschwindet der freie Theil, weil die Integration durch den geschlossenen zweiten Leiter erstreckt wird. Man hat also

$\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial ^{2}\,\delta \,(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}=-\iint {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}{\frac {\partial \,\delta \,(r^{2})}{\partial s}}ds\,ds'.$

Wir transformiren weiter. Bei unbestimmter Integration ist

$\int {\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}{\frac {\partial \delta (r^{2})}{\partial s}}ds={\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'}}\delta (r^{2})-\int \delta (r^{2}){\frac {\partial ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s'\,\partial s}}ds.\,$

Setzt man hier die Grenzen ein, so verschwindet wieder der freie Theil. Denn es ist hier die Integration durch den geschlossenen ersten Leiter ausgedehnt. Also hat man schliesslich

$\iint {\frac {ds\,ds'}{r}}{\frac {\partial ^{2}delta(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}=\iint \delta (r^{2}){\frac {\partial ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s\,\partial s'}}ds\,ds',\,$

und es ist deshalb

(2)	$\delta \,P=-{\frac {1}{2}}J\,J'\iint \delta r\left\{-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}+2r{\frac {\partial ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s\,\partial s'}}\right\}ds\,ds'.\,$

Nun finden wir durch Differentiation

${\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}=-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}=-{\frac {1}{2r^{3}}}{\frac {\partial (r^{2})}{\partial s}},$

folglich

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s\,\partial s'}}&=-{\frac {1}{2r^{3}}}{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}+{\frac {3}{2r^{4}}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}{\frac {\partial (r^{2})}{\partial s}}\\&=-{\frac {1}{2r^{3}}}{\frac {\partial ^{2}(r^{2})}{\partial s\,\partial s'}}+{\frac {3}{r^{3}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}.\\\end{aligned}}$

Setzen wir dies in den Ausdruck für $\delta P\,$ ein und beachten die Gleichungen (1) und (2), so ergibt sich

(3)	$F\,ds\,ds'=-{\frac {J\,J'\,ds\,ds'}{r^{2}}}\left(3{\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2{\frac {\partial \left(r{\frac {\partial r}{\partial s}}\right)}{\partial s'}}\right).\,$

 Wir bezeichnen den Winkel $(i\,i')\,$ mit $\varepsilon \,$. Dann lässt mit Rücksicht auf die Gleichungen (2), (3) und (7) des vorigen Paragraphen die eben gewonnene Gleichung (3) sich auch so schreiben:

(4)	$F\,ds\,ds'={\frac {J\,J'\,ds\,ds'}{r^{2}}}(3\cos \theta \,\cos \theta '-2\cos \varepsilon ),\,$

Dies ist das von Ampère gefundene Gesetz der elektrodynamischen Wechselwirkung zwei lineärer Stromelemente.*)^[1]

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1. *)Ampère. Mémoire sur la théorie mathématique des phénomènes électrodynamiques. (Mémoires de l’Académie de Paris. T. VI. 1823.)