Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 83.

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§. 83. Mehrfach zusammenhangende Körper.

 Wir wollen jetzt einen mehrfach zusammenhangenden Körper genauer betrachten. Ein Körper heisst einfach zusammenhangend, wenn sich in keiner Weise eine Schnittfläche hindurchlegen lässt, durch welche er nicht in völlig getrennte Stücke zerfiele. Lässt sich ein Körper durch $q\,$ Schnittflächen in einen einfach zusammenhangenden verwandeln, so nennen wir ihn $(q+1)\,$ fach zusammenhangend. Für einen solchen Körper ist auch der äussere Raum mehrfach zusammenhangend, und zwar wie jener $(q+1)\,$ fach, falls der Körper selbst vollständig begrenzt im endlichen Gebiete liegt.

 Um diesen Satz zu beweisen, haben wir zunächst das Schema eines mehrfach zusammenhangenden Körpers herzustellen. Als solches bietet sich das Drahtsystem des §. 62 dar, wenn wir (um nicht einen besonderen Fall im Auge zu haben) die Querschnitte aller Drähte in zwei Dimensionen endlich voraussetzen. Wir numeriren

Fig. 45.

die sämmtlichen $m\,$ einzelnen Drahtzweige und die sämmtlichen $n\,$ Knoten. Der zu führende Beweis beruht auf Abzählungen, die der Einfachheit wegen an einer ebenen Hülfsfigur ausgeführt werden können. Wir nehmen in der Ebene in endlicher Entfernung von einander ebenso viel Punkte, als das Drahtsystem Knoten hat. Je ein Punkt der Ebene und der gleichnumerirte Knoten des Drahtsystems entsprechen einander. Die Punkte der Ebene sollen nun durch gerade Linien so verbunden werden, dass je einer solchen Linie ein besonderer einzelner Drahtzweig entspricht und umgekehrt, und dass Anfangs- und Endpunkt irgend einer Linie resp. den Knoten correspondiren, zwischen denen der der Linie entsprechende Drahtzweig liegt. Da über die gegenseitige Lage der Knotenpunkte in der Ebene nichts vorausgesetzt ist, so kann man sie immer so anordnen, dass keine von den Verbindungslinien zwischen ihrem Anfangs- und ihrem Endpunkte von einer anderen

durchschnitten wird, und dass keine zwei Linien, die in einem Knotenpunkte zusammenstossen, einen Winkel von genau 180° einschliessen (Fig. 45).

 Die ebene Hülfsfigur besteht nun aus einem Polygon, dessen sämmtliche Eckpunkte Knotenpunkte sind, und welches die übrigen Knotenpunkte in seinem Innern enthält. Ein Theil der gezogenen Linien bildet die Begrenzung des Polygons, die übrigen liegen im Innern und zerlegen dasselbe in eine noch näher zu bestimmende Anzahl einzelner Figuren.

 Zerschneidet man jede Linie der Figur 45 an einer zwischen den Knotenpunkten liegenden Stelle und schreibt vor, dass beim stetigen Durchlaufen des Liniensystems keine Schnittstelle überschritten werden darf, so zerfällt dasselbe in n einfach zusammenhangende Systeme, von denen jedes einen Knotenpunkt in sich enthält. In der That kann man von jedem Knotenpunkte aus auf allen von dort auslaufenden Linien sich stetig fortbewegen, auf jeder aber nur bis an die Schnittstelle. Lässt mau nun einen

Fig. 46.

Schnitt fallen, so werden dadurch die beiden einfach zusammenhangenden Systeme, welche daselbst an einander stossen, zu einem einzigen einfach zusammenhangenden Systeme vereinigt. Oder mit anderen Worten: durch die Aufhebung eines Schnittes wird die Anzahl der einfach zusammenhangenden Liniensysteme um 1 vermindert. Will man also nur ein einziges einfach zusammenhangendes System behalten, so muss man $n-1\,$ Schnitte beseitigen. Das gegebene Liniensystem wird demnach durch $m-n+1\,$ Schnitte im Innern der Linien in ein einfach zusammenhangendes System verwandelt.

 In Fig. 45 seien nun $a\,$ äussere Knotenpunkte vorhanden, folglich auch $a\,$ äussere Begrenzungslinien. Um die Anzahl der einzelnen Figuren zu betimmen ^[1], in welche das $a\,$-Eck durch die inneren Linien zerlegt wird, ziehen wir in jeder Figur, die mehr als drei Seiten hat, von einem Punkte aus die Diagonalen. (Sie sind in Fig. 46 punktirt.) Dadurch zerfallen die inneren Figuren in lauter Dreiecke, deren Anzahl leicht aus ihrer Winkelsumme bestimmt werden kann. Die Summe der Winkel an den äusseren Knotenpunkten ist nemlich

$=(a-2)2R\,$

und an den inneren Knotenpunkten

$=(n-a)4R.\,$

Folglich haben wir

$2(n-1)-a\,$

Dreiecke und

$6(n-1)-4a\,$

innere Dreiecksseiten. Dabei ist jede innere Linie der Fig. 46 doppelt gezählt. Die Anzahl dieser inneren Linien ist also

$3(n-1)-2a.\,$

In der ursprünglichen Fig. 45 sind aber nur

$m-a\,$

innere Linien vorhanden. Folglich hat man in Fig. 46

$3(n-1)-a-m\,$

punktirte Linien, die wieder weggenommen werden müssen, wenn man auf die ursprüngliche Figur zurückkommen will. Durch jede weggenommene punktirte Linie werden zwei benachbarte Figuren zu einer einzigen vereinigt. Die Anzahl der einzelnen Figuren, in welche das $a\,$-Eck der Fig. 45 durch die inneren Linien zerlegt wird, ist demnach

$2(n-1)-a-\lbrace 3(n-1)-a-m\rbrace \,$ $=m-n+1.\,$

Nun entspricht jedem Schnitt im Innern der Linien von Fig. 45 eine Querschnittsfläche im Innern des gegebenen Drahtsystems. Dasselbe wird also durch $m-n+1\,$ Querschnittsflächen in einen einfach zusammenhangenden Körper verwandelt. Jeder einzelnen einfachen Figur in 45 entspricht eine Querschnittsfläche im äusseren Raume. Die Anzahl dieser Querschnittsflächen ist demnach auch $m-n+1\,$. Sind sie alle vorhanden, so besitzt der äussere Raum noch vollen Zusammenhang. Denn man kann von einem Punkte auf der einen Seite irgend eines Querschnittes nach allen Punkten auf der einen wie auf der andern Seite jedes Querschnittes gelangen, ohne den äusseren Raum zu verlassen. Wollte man aber im äusseren Raume noch eine neue Querschnittsfläche legen, so würde er dadurch in zwei getrennte Stücke zerfallen. Der gegebene Körper und der äussere Raum sind also beide $(m-n+2)\,$-fach zusammenhangend.

 Aus dem Gange des Beweises ersieht man zugleich, dass der gegebene Körper in mannichfaltiger Weise in einen einfach zusammenhangenden zerlegt werden kann. Die Anzahl der Querschnitte ist aber bei allen Zerlegungen dieselbe.

 Nach dieser Einschaltung kehren wir zu der Untersuchung des §. 81 zurück.

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1. WS: Druckfehler, soll bestimmen heißen