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Sechster Abschnitt. §. 83.
§. 83.
Mehrfach zusammenhangende Körper.
Wir wollen jetzt einen mehrfach zusammenhangenden Körper genauer betrachten. Ein Körper heisst einfach zusammenhangend, wenn sich in keiner Weise eine Schnittfläche hindurchlegen lässt, durch welche er nicht in völlig getrennte Stücke zerfiele. Lässt sich ein Körper durch Schnittflächen in einen einfach zusammenhangenden verwandeln, so nennen wir ihn fach zusammenhangend. Für einen solchen Körper ist auch der äussere Raum mehrfach zusammenhangend, und zwar wie jener fach, falls der Körper selbst vollständig begrenzt im endlichen Gebiete liegt.
Um diesen Satz zu beweisen, haben wir zunächst das Schema eines mehrfach zusammenhangenden Körpers herzustellen. Als solches bietet sich das Drahtsystem des §. 62 dar, wenn wir (um nicht einen besonderen Fall im Auge zu haben) die Querschnitte aller Drähte in zwei Dimensionen endlich voraussetzen. Wir numeriren Fig. 45. die sämmtlichen einzelnen Drahtzweige und die sämmtlichen Knoten. Der zu führende Beweis beruht auf Abzählungen, die der Einfachheit wegen an einer ebenen Hülfsfigur ausgeführt werden können. Wir nehmen in der Ebene in endlicher Entfernung von einander ebenso viel Punkte, als das Drahtsystem Knoten hat. Je ein Punkt der Ebene und der gleichnumerirte Knoten des Drahtsystems entsprechen einander. Die Punkte der Ebene sollen nun durch gerade Linien so verbunden werden, dass je einer solchen Linie ein besonderer einzelner Drahtzweig entspricht und umgekehrt, und dass Anfangs- und Endpunkt irgend einer Linie resp. den Knoten correspondiren, zwischen denen der der Linie entsprechende Drahtzweig liegt. Da über die gegenseitige Lage der Knotenpunkte in der Ebene nichts vorausgesetzt ist, so kann man sie immer so anordnen, dass keine von den Verbindungslinien zwischen ihrem Anfangs- und ihrem Endpunkte von einer anderen
