|[271]
§. 78.
Fortsetzung: Andere Lösung der Aufgabe.
Die Aufgabe des vorigen Paragraphen lässt sich auch noch auf einem anderen Wege lösen. Wir setzen
(1)
|
|
Diese Ausdrücke sind so beschaffen, dass sie die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von selbst erfüllen. Die Gleichungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen geben jetzt:
(2)
|
|
Durch diese partiellen Differentialgleichungen sind die Functionen
noch nicht völlig bestimmt. Denn angenommen, man habe eine Lösung
gefunden, so bezeichne man mit
irgend eine Function von
, die mit ihren Derivirten endlich und stetig variabel ist. Dann genügen auch die Functionen
|
|
den partiellen Differentialgleichungen (2) und geben vermöge der Gleichungen (1) für
dasselbe wie die Lösung
. Und umgekehrt, wenn man ausser der Lösung
noch eine andere Lösung
gefunden hat, so sind die Differenzen
|
|
die partiellen Derivirten einer und derselben Function
, resp. nach
, nach
, nach
genommen. Denn aus den Gleichungen (2) ergibt sich für diese Differenzen:
|[272]
|
|
Diese partiellen Differentialgleichungen sind erfüllt, wenn man setzt:
|
|
Darin spricht sich aber aus, dass die Differenzen
die resp. nach
genommenen Derivirten einer und derselben Function
sind.
Um nun die Functionen
völlig zu bestimmen, darf man noch eine Gleichung hinzufügen. Wir wählen die Gleichung:
(3)
|
|
Durch sie gehen die Gleichungen (2) in folgende über:
(4)
|
|
|[273]
Diesen partiellen Differentialgleichungen genügen die Lösungen:
(5)
|
|
Hier bedeuten
die spezifischen Stromintensitäten im Punkte
, es ist
das an diesen Punkt anstossende Raumelement und
die Entfernung desselben Punktes von dem Punkte
. Mit
sind die Werthe von
in dem letztgenannten Punkte bezeichnet. Die Integrationen hat man über alle von Strömen durchflossenen Leiter auszudehnen.