Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 77.

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§. 77. Die Componenten der elektromagnetischen Kraft ausgedrückt durch die specifischen Stromintensitäten.

 Es werde umgekehrt die Aufgabe gestellt, die Componenten der von den galvanischen Strömen ausgeübten magnetischen Kraft zu bestimmen, wenn für jede Stelle des Raumes die spezifischen Stromintensitäten gegeben sind. Es handelt sich also darum, die Functionen $X,\ Y,\ Z\,$ so zu bestimmen, dass sie den partiellen Differentialgleichungen genügen:

(1)	${\frac {\partial Z}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial z}}=4\pi i_{1},$

(2)	${\frac {\partial X}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial x}}=4\pi i_{2},$

(3)	${\frac {\partial Y}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial y}}=4\pi i_{3}.$

Die spezifischen Stromintensitäten $i_{1},\ i_{2},\ i_{3}\,$ sind nur innerhalb der von Strömen durchflossenen Leiter von Null verschieden und im ganzen übrigen Raume gleich Null. Da wir voraussetzen, dass die magnetischen Kräfte nur von den galvanischen Strömen herrühren sollen, nicht aber von magnetischen Massen, so ist im ganzen un- endlichen Raume die partielle Differentialgleichung (6) des §. 65 erfüllt, nemlich:

(4)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0.$

Noch ist anzumerken, dass in unendlicher Entfernung die magnetischen Kräfte gleich Null sind:

(5)	$X_{\infty }=Y_{\infty }=Z_{\infty }=0.\,$

 Die Gleichungen (1), (2), (3) sind nicht völlig unabhängig von einander. Sie erfüllen die Bedingungsgleichung

${\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0.$

 Um nun unsere Aufgabe zu lösen, eliminiren wir zunächst $Y\,$ und $Z\,$. Dies geschieht dadurch, dass wir in Gleichung (4) nach $x\,$, in (3) nach $-y\,$, in (2) nach $z\,$ differenziren und die Resultate links und rechts addiren. Auf diese Weise ergibt sich:

${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=4\pi \left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right).$

Durch Vergleichung mit §. 13, (4) gelangt man zu einer mechanischen Interpretation des gewonnenen Resultates. Danach darf man $X\,$ wie die von einer anziehenden schweren Masse herrührende Potentialfunction ansehen, wenn im Punkte $(x,\ y,\ z)$ die Dichtigkeit der Masse

$=-\left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right)$

ist. Es ergibt sich also ohne weiteres:

(6)	$X'=-\int \left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right){\frac {dT}{r}}$

und in entsprechender Weise:

(7)	$Y'=-\int \left({\frac {\partial i_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial i_{1}}{\partial z}}\right){\frac {dT}{r}},$

(8)	$Z'=-\int \left({\frac {\partial i_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial i_{2}}{\partial x}}\right){\frac {dT}{r}}.$

In diesen Gleichungen bedeutet $dT\,$ das an den Punkt $(x,\ y,\ z)$ anstossende Raumelement, $r\,$ ist die Entfernung des Punktes $(x'\ y'\ z')$ vom Punkte $(x,\ y,\ z)$ und $X',\ Y',\ Z'$ sind die Compononten der magnetischen Kraft, welche auf die im Punkte $(x',\ y',\ z')$ concentrirte positive Einheit der magnetischen Masse ausgeübt wird. Die Integrationen in (6), (7), (8) sind über die sämmtlichen von galvanischen Strömen durchflossenen Leiter auszudehnen.

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