Schwere, Elektricität und Magnetismus:284

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 270
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Sechster Abschnitt. §. 77.

endlichen Raume die partielle Differentialgleichung (6) des §. 65 erfüllt, nemlich:

(4)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0.$

Noch ist anzumerken, dass in unendlicher Entfernung die magnetischen Kräfte gleich Null sind:

(5)	$X_{\infty }=Y_{\infty }=Z_{\infty }=0.\,$

 Die Gleichungen (1), (2), (3) sind nicht völlig unabhängig von einander. Sie erfüllen die Bedingungsgleichung

${\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0.$

 Um nun unsere Aufgabe zu lösen, eliminiren wir zunächst $Y\,$ und $Z\,$. Dies geschieht dadurch, dass wir in Gleichung (4) nach $x\,$, in (3) nach $-y\,$, in (2) nach $z\,$ differenziren und die Resultate links und rechts addiren. Auf diese Weise ergibt sich:

${\frac {\partial ^{2}X}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}X}{\partial z^{2}}}=4\pi \left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right).$

Durch Vergleichung mit §. 13, (4) gelangt man zu einer mechanischen Interpretation des gewonnenen Resultates. Danach darf man $X\,$ wie die von einer anziehenden schweren Masse herrührende Potentialfunction ansehen, wenn im Punkte $(x,\ y,\ z)$ die Dichtigkeit der Masse

$=-\left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right)$

ist. Es ergibt sich also ohne weiteres:

(6)	$X'=-\int \left({\frac {\partial i_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial i_{3}}{\partial y}}\right){\frac {dT}{r}}$

und in entsprechender Weise:

(7)	$Y'=-\int \left({\frac {\partial i_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial i_{1}}{\partial z}}\right){\frac {dT}{r}},$

(8)	$Z'=-\int \left({\frac {\partial i_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial i_{2}}{\partial x}}\right){\frac {dT}{r}}.$

In diesen Gleichungen bedeutet $dT\,$ das an den Punkt $(x,\ y,\ z)$ anstossende Raumelement, $r\,$ ist die Entfernung des Punktes $(x'\ y'\ z')$ vom Punkte $(x,\ y,\ z)$ und $X',\ Y',\ Z'$ sind die Compononten der magnetischen Kraft, welche auf die im Punkte $(x',\ y',\ z')$ concentrirte positive Einheit der magnetischen Masse ausgeübt wird. Die Integrationen in (6), (7), (8) sind über die sämmtlichen von galvanischen Strömen durchflossenen Leiter auszudehnen.