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§. 70.
Herstellung der Function
.
Der Satz von Green (§. 20) lässt sich hier folgendermaassen verwerthen.
Wir setzen
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und
(1)
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Der Raum
, welcher für uns in Betracht kommt, wird begrenzt von den beiden Seiten der Fläche
und von zwei Kugelflächen, von denen die eine mit dem Radius
, die andere mit dem Radius
um den Punkt
als Mittelpunkt construirt ist, und zwar für
und
.
Hier treffen alle Voraussetzungen des §. 21 zu mit der einen Modification, dass
in der Oberfläche des Raumes
nicht überall Null ist. Durch Wiederholung des dort angewandten Verfahrens gelangt man demnach zu der Gleichung
(2)
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und es bezeichnet
den Werth von
im Punkte
. Das Raumintegral ist Null vermöge der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen. Das Oberflächen-Integral ist auszudehnen über die Kugel vom Radius
und über die beiden Seiten der Fläche
.
Für die Kugelfläche fällt die nach dem Innern des Raumes
gezogene Normale in die Richtung der abnehmenden
. Folglich kann das über diese Kugelfläche erstreckte Integral geschrieben werden:
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wobei
das Element einer Kugelfläche vom Radius 1 bezeichnet. Nun steht für
sowohl
als
in endlichem Verhältnis zu
. Folglich wird
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|[257]und man sieht, dass das Integral den Grenzwerth Null hat für
.
Hiernach bleibt auf der rechten Seite der Gleichung (2) nichts weiter übrig als das Oberflächen-Integral, ausgedehnt über beide Seiten der Fläche
.
Wir errichten im Punkte
der Fläche
die Normale nach beiden Seiten und zählen auf ihr von dem Fusspunkte aus den Abstand
positiv nach der einen, negativ nach der andern Seite. Dann ist auf der positiven Seite
, auf der negativen
. Die Gleichung (2) geht dadurch in folgende über:
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Dafür kann man auch schreiben:
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Hier ist das zweite Integral gleich Null in Folge der Gleichung (3) des vorigen Paragraphen. In dem ersten Integrale hat man für
die Gleichung (2) des vorigen und für
die Gleichung (1) dieses Paragraphen zu beachten. Dadurch ergibt sich schliesslich:
(3)
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