Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 57.

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§. 57. Beharrliche Ströme. Die drei Bedingungsgleichungen für $V\,$.

 Wir wollen die besondere Voraussetzung machen, dass die scheidende Kraft von der Zeit unabhängig, also für alle Punkte im Innern des betrachteten Leiters eine Function nur von den Raum-Coordinaten $x,\;y,\;z$ sei. Die Componenten der scheidenden Kraft, welche im Punkte $(x,\;y,\;z)$ auf die dort vorhandenen Elektricitätsmenge $\varepsilon \,$ einwirkt, sollen mit $\varepsilon \,\Xi ,\;\varepsilon \,\mathrm {H} ,\;\varepsilon \,\mathrm {Z}$ bezeichnet werden und als Functionen von $x,\;y,\;z$ im Innern des Leiters gegeben sein. In Folge der Scheidung sammelt sich freie Elektricität an. Die davon herrührende Potentialfunction bezeichnen wir mit $V\,$. Es ist also (§. 45)

$V=-\sum {\frac {\varepsilon }{r}}.$

Danach sind die Componenten der elektromotorischen Gesammtkraft, welche auf die im Punkte $(x,\;y,\;z)$ vorhandene Elektricitätsmenge $s\,$ ausgeübt wird, resp.

$\varepsilon \left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right),$ $\varepsilon \left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right),$ $\varepsilon \left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right),$

und diese Componenten haben resp. die Richtung der Axen der $x\,$, der $y\,$, der $z\,$. Für die specifischen Stromintensitäten in denselben Richtungen erhalten wir also, entsprechend den Gleichungen (1) des vorigen Paragrapben, die Ausdrücke:

$i_{1}=k\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right),$ $i_{2}=k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right),$ $i_{3}=k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right).$

Die angesammelte freie Elektricität wirkt einer unaufhörlich fortgesetzten neuen Ansammlung von freier Elektricität Entgegen. In Folge dessen wird von einem gewissen Zeitpunkte an die Dichtigkeit der freien Elektricität an keiner Stelle des Leiters mehr sich ändern, d. h. es wird von diesem Zeitpunkte an ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$ sein. Mit Rücksicht auf die Gleichung (1) des §. 55 erhalten wir also für jeden Punkt im Innern des Leiters:

${\frac {\partial i_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial i_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial i_{3}}{\partial z}}=0,$

oder, wenn für $i_{1},\ i_{2},\ i_{3}$ die obigen Ausdrücke eingesetzt werden:

(1)

${\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right)\right\rbrace }{\partial x}}+{\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right)\right\rbrace }{\partial y}}+{\frac {\partial \left\lbrace k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)\right\rbrace }{\partial z}}=0.$

 Die freie Oberfläche des Leiters soll isolirt sein. Dann ist in jedem ihrer Punkte die normal gegen sie gerichtete specifische Stromintensität gleich Null. Wir ziehen von einem Punkte $(x,\;y,\,z)$ in der freien Oberfläcbe die Normale nach innen und bezeichnen einen auf ihr genommenen Abstand mit $n\,$. Die specifische Stromintensität normal gegen die Oberfläche ist

$-\left(i_{1}\,{\frac {\partial x}{\partial n}}+i_{2}\,{\frac {\partial y}{\partial n}}+i_{3}\,{\frac {\partial z}{\partial n}}\right).$

Wenn man diese gleich Null setzt, so ergibt sich für jeden Punkt der freien Oberfläche die Bedingungsgleichung:

(2)	$\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial n}}+\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial n}}+\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial n}}=0$.

 Aendern sich die Grössen $\Xi ,\ \mathrm {H} ,\ \mathrm {Z} ,\ k$ im Innern des Leiters an keiner Stelle sprungweise, so treten weiter keine Gleichungen auf. Wir wollen aber noch den Fall betrachten, dass jene Grössen im Innern des Leiters beim Durchgang durch einzelne Flächen sich sprungweise ändern. Es werde von einem Punkte $(x,\;y,\;z)$ einer Unstetigkeitsfläche aus nach beiden Seiten die Normale gezogen und darauf ein Abstand $p\!$ nach der einen Seite hin positiv, nach der anderen Seite negativ gerechnet. Dann ist noch auszudrücken, dass für zwei Punkte dieser Normale, die auf verschiedenen Seiten der Fläche unendlich nahe am Punkte $(x,\,y,\,z)$ liegen, die specifische Stromintensität in der Richtung der wachsenden $x\!$ dieselbe ist. Oder mit anderen Worten: dass an jeder Stelle der Unstetigkeitsfläche in den Raum auf der positiven Seite in jedem Zeitelement eben so viel Elektricität einströmt, als aus dem Raume auf der negativen Seite ausströmt. Dies spricht sich aus in der Gleichung:

(3)

$\left\lbrace k(\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrace _{p=-0}$ $=\left\lbrace k(\left({\frac {\partial V}{\partial x}}+\Xi \right){\frac {\partial x}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial y}}+\mathrm {H} \right){\frac {\partial y}{\partial p}}+k\left({\frac {\partial V}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrace _{p=+0}$

 Die Gleichung (3) gilt für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ der Unstetigkeitsflächen im Innern des Leiters.

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