Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 50.

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§. 50. Fortsetzung: Grösse und Lage jeder einzelnen fingirten Ladung.

 Wir betrachten zunächst die Function $\varphi _{11}(\eta )\!$, welche durch die Reihe (23) des vorigen Paragraphen ausgedrückt ist. Der Nenner des allgemeinen Gliedes lässt sich leicht in die Form bringen

$\alpha _{1}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{1}}{c}}\,\eta \right)-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{2}}{c}}\,\eta \right)$

oder kürzer

(1)	$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}(1-\lambda _{2}\,\eta ).\,$

Hier sieht man ohne weiteres, dass $\lambda _{2}>\lambda _{1}\!$ ist, denn wir haben $\alpha _{2}>\alpha _{1}\!$ genommen. Bilden wir nun das Product $\lambda _{1}\lambda _{2}\!$, so findet sich:

$\lambda _{1}\lambda _{2}={\frac {(a+b\,\alpha _{1})(a+b\,\alpha _{2})}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})+b^{2}\alpha _{1}\alpha _{2}}{c^{2}}}.\,$

Nach der Gleichung (18) des vorigen Paragraphen ist aber $a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2})\!$ und $\alpha _{1}\alpha _{2}=1\!$. Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, so zeigt sich:

(2)	$\lambda _{1}\lambda _{2}=1.\,$

Beide Grössen $\lambda _{1}\!$ und $\lambda _{2}\!$ sind positiv und $\lambda _{2}>\lambda _{1}\!$, folglich muss $\lambda _{2}>1\!$ und $\lambda _{1}<1\!$ sein. Der Ausdruck (1) kann nun so geschrieben werden

(3)	$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right).\,$

Nehmen wir $\eta \geq 1\!$, so ist

$\alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)\,$

jedenfalls positiv und unter keinen Umständen Null. Ferner ist

${\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1>\lambda _{1}\,\eta -1\,$

und

$\alpha _{2}^{k}>\alpha _{1}^{k},\,$

folglich

$\alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)>\alpha _{1}^{k}(\lambda _{1}\,\eta -1)\,$

oder, was dasselbe ist:

$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right)>0.\,$

Es kann also für $\eta \geq 1\!$ der Nenner des allgemeinen Gliedes in $\varphi _{11}(\eta )\!$ nicht Null und deshalb $\varphi _{11}(\eta )\!$ nicht unendlich werden. Dasselbe lässt sich von $\varphi _{22}(\eta )\!$ beweisen. In entsprechender Weise findet man, dass $\chi _{12}(\zeta )\!$ und $\chi _{21}(\zeta )\!$ nicht unendlich werden können für $\zeta \geq 1\!$. Für $\eta \geq 1\!$ hat man aber $\infty >x\geq a\!$ und für $\zeta \geq 1\!$ ist $c-b\geq x>-\infty \!$. Man darf also das Gültigkeitsgebiet der Ausdrücke für $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$ einerseits und für $\varphi _{12}(\eta )\!$ und $\varphi _{21}(\eta )\!$ andererseits erweitern. Für jene darf der Punkt $(x,\,0,\,0)$, der anfänglich zwischen beiden Kugeln lag, durch die zweite Kugel hindurch beliebig weit auf der Axe der positiven $x\!$ fortrücken, ohne dass die Ausdrücke (23) und (31) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich werden. Für diese darf der Punkt $(x,\,0,\,0)$ aus seinem anfänglichen Gebiete durch die erste Kugel hindurch in der Richtung der negativen $x\!$ beliebig weit verschoben werden, ohne dass die Ausdrücke (26) und (30) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich grosse Werthe geben. Da nun aber die vier Functionen nur innerhalb der einen oder der anderen Kugel unendlich werden können, so liegen die Unstetigkeitspunkte von $\varphi _{11}(\eta )\!$ und von $\varphi _{22}(\eta )\!$ innerhalb der ersten Kugel und die Unstetigkeitspunkte von $\varphi _{12}(\eta )\!$ und von $\varphi _{21}(\eta )\!$ innerhalb der zweiten Kugel. Beachtet man noch, dass die Ausdrücke für $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\varphi _{12}(\eta )\!$ mit dem Factor $g\!$, die Ausdrücke für $\varphi _{21}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$ mit dem Factor $h\!$ behaftet sind, und erinnert sich der Bemerkung am Schlusse des §. 48, so findet sich, dass für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln

(4)	$V_{1}'=\varphi _{11}(\eta ),\,$

(5)	$V_{2}'=\varphi _{12}(\eta ),\,$

(6)	$V_{3}'=\varphi _{21}(\eta ),\,$

(7)	$V_{4}'=\varphi _{22}(\eta ).\,$

Die Gleichungen (4) und (7) gelten auch noch für $x>c-b\!$, und die Gleichungen (5) und (6) für $x<a\!$. Danach hat man ein Mittel, die Constanten zu bestimmen, welche die Lage und die elektrische Ladung jedes Unstetigkeitspunktes angeben. Man hat nur in den Gleichungen (23), (26), (30), (31) des vorigen Paragraphen die Grösse $\eta \!$ zu ersetzen durch ${\frac {x}{a}}\!$ und hierauf die Nenner mit denen der entsprechenden Ausdrücke in den Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen in Uebereinstimmung zu bringen. Dann lassen die Werthe von $x_{k}\!$ und $m_{k}\!$ sich ohne weiteres ablesen. Man erhält

(8)

${\begin{aligned}&x_{k}'={\frac {ac\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}{a\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}},\\\,\\&m_{k}'={\frac {-abg\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{a\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}};\\\end{aligned}}$

(9)	${\begin{aligned}&x_{k}''={\frac {a^{2}\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+ab\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}''={\frac {abg\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}};\\\end{aligned}}$

(10)

${\begin{aligned}&x_{k}'''=\,{\frac {ac\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{a\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}'''=\,{\frac {-abh\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{a\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}};\\\end{aligned}}$

(11)	${\begin{aligned}&x_{k}''''={\frac {(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})(c^{2}-b^{2})-ab\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}''''={\frac {abh\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}.\\\end{aligned}}$

Diese Werthe der Constanten hat man in die Ausdrücke (7) des §. 48 einzusetzen. Dann sind die Functionen $V_{1}',\,V_{2}',\,V_{3}',\,V_{4}'\,$ für jede beliebige Lage des Punktes $(x,\,y,\,z)$ völlig bestimmt.

 Uebrigens ist zu bemerken, dass die Lösung der Aufgabe sich durch Superposition aus vier speciellen Lösungen zusammensetzt. Es sind nemlich $V_{1}'\!$ und $V_{2}'\!$ die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der ersten und zweiten Gruppe unter der Voraussetzung, dass $g\!$ von Null verschieden, und $h=0\!$. Und es sind $V_{3}'\!$ und $V_{4}'\!$ die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der dritten und vierten Gruppe, wenn $g=0\!$ und $h\!$ von Null verschieden.

 Wir wollen noch den Satz zur Anwendung bringen, welcher in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Dabei ist nur zu beachten, dass hier $-V\!$ dieselbe Rolle spielt wie dort $V\!$. Wir setzen

${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=R$

und finden nach dem eben citirten Satze:

(12)	$\lim(-RV_{1}')=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}',\,$ $\lim(-RV_{2}')=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}'',\,$ $\lim(-RV_{3}')=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}''',\,$ $\lim(-RV_{4}')=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}''''.\,$ für $\lim R=\infty .\,$

 Man kann die Elektricitätsmengen auch auf einem anderen Wege berechnen, indem man den Satz (5) des §. 12 anwendet und die Bemerkung macht, dass die Gleichung (9) desselben Paragraphen hier zutrifft, dass aber hier $-\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\!$ statt $N\!$ gesetzt werden muss. Bezeichnet man also mit $d\sigma _{1}\!$ und $d\sigma _{2}\!$ ein Oberflächenelement der ersten und resp. der zweiten Kugel und mit $n\!$ die nach innen gezogene Normale, so findet sich

(13)

$-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{1}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{2}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}'',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{3}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}''',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{4}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}''''.\,$

Dagegen ist

(14)	$\int \left({\frac {\partial V_{1}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\int \left({\frac {\partial V_{2}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\int \left({\frac {\partial V_{3}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}\,$

$=\int \left({\frac {\partial V_{4}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=0,\,$

wie ebenfalls aus dem Satze (5) des §. 12 hervorgeht.

 Es ist leicht zu beweisen, dass die Reihen auf der rechten Seite der Gleichungen (12) convergent sind.

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