Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 50.

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§. 50.
Fortsetzung: Grösse und Lage jeder einzelnen fingirten Ladung.


 Wir betrachten zunächst die Function , welche durch die Reihe (23) des vorigen Paragraphen ausgedrückt ist. Der |[201]Nenner des allgemeinen Gliedes lässt sich leicht in die Form bringen



oder kürzer


(1)


Hier sieht man ohne weiteres, dass ist, denn wir haben genommen. Bilden wir nun das Product , so findet sich:



Nach der Gleichung (18) des vorigen Paragraphen ist aber und . Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, so zeigt sich:


(2)


Beide Grössen und sind positiv und , folglich muss und sein. Der Ausdruck (1) kann nun so geschrieben werden


(3)


Nehmen wir , so ist



jedenfalls positiv und unter keinen Umständen Null. Ferner ist



und



folglich



oder, was dasselbe ist:



Es kann also für der Nenner des allgemeinen Gliedes in nicht Null und deshalb nicht unendlich werden. Dasselbe lässt sich von beweisen. In entsprechender Weise |[202]findet man, dass und nicht unendlich werden können für . Für hat man aber und für ist . Man darf also das Gültigkeitsgebiet der Ausdrücke für und einerseits und für und andererseits erweitern. Für jene darf der Punkt , der anfänglich zwischen beiden Kugeln lag, durch die zweite Kugel hindurch beliebig weit auf der Axe der positiven fortrücken, ohne dass die Ausdrücke (23) und (31) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich werden. Für diese darf der Punkt aus seinem anfänglichen Gebiete durch die erste Kugel hindurch in der Richtung der negativen beliebig weit verschoben werden, ohne dass die Ausdrücke (26) und (30) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich grosse Werthe geben. Da nun aber die vier Functionen nur innerhalb der einen oder der anderen Kugel unendlich werden können, so liegen die Unstetigkeitspunkte von und von innerhalb der ersten Kugel und die Unstetigkeitspunkte von und von innerhalb der zweiten Kugel. Beachtet man noch, dass die Ausdrücke für und mit dem Factor , die Ausdrücke für und mit dem Factor behaftet sind, und erinnert sich der Bemerkung am Schlusse des §. 48, so findet sich, dass für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln


(4)


(5)


(6)


(7)


Die Gleichungen (4) und (7) gelten auch noch für , und die Gleichungen (5) und (6) für . Danach hat man ein Mittel, die Constanten zu bestimmen, welche die Lage und die elektrische Ladung jedes Unstetigkeitspunktes angeben. Man hat nur in den Gleichungen (23), (26), (30), (31) des vorigen Paragraphen die Grösse zu ersetzen durch und hierauf die Nenner mit denen der entsprechenden Ausdrücke in den Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen in Uebereinstimmung zu bringen. Dann lassen die Werthe von und sich ohne weiteres ablesen. Man erhält |[203]


(8)


(9)


(10)


(11)


Diese Werthe der Constanten hat man in die Ausdrücke (7) des §. 48 einzusetzen. Dann sind die Functionen für jede beliebige Lage des Punktes völlig bestimmt.

 Uebrigens ist zu bemerken, dass die Lösung der Aufgabe sich durch Superposition aus vier speciellen Lösungen zusammensetzt. Es sind nemlich und die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der ersten und zweiten Gruppe unter der Voraussetzung, dass von Null verschieden, und . Und es sind und die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der dritten und vierten Gruppe, wenn und von Null verschieden.

 Wir wollen noch den Satz zur Anwendung bringen, welcher in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Dabei ist nur zu beachten, dass hier dieselbe Rolle spielt wie dort . Wir setzen



und finden nach dem eben citirten Satze: |[204]


(12)





für


 Man kann die Elektricitätsmengen auch auf einem anderen Wege berechnen, indem man den Satz (5) des §. 12 anwendet und die Bemerkung macht, dass die Gleichung (9) desselben Paragraphen hier zutrifft, dass aber hier statt gesetzt werden muss. Bezeichnet man also mit und ein Oberflächenelement der ersten und resp. der zweiten Kugel und mit die nach innen gezogene Normale, so findet sich


(13)





Dagegen ist


(14)


wie ebenfalls aus dem Satze (5) des §. 12 hervorgeht.

 Es ist leicht zu beweisen, dass die Reihen auf der rechten Seite der Gleichungen (12) convergent sind.