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§. 50.
Fortsetzung: Grösse und Lage jeder einzelnen fingirten Ladung.
Wir betrachten zunächst die Function
, welche durch
die Reihe (23) des vorigen Paragraphen ausgedrückt ist. Der
|[201]Nenner des allgemeinen Gliedes lässt sich leicht in die Form bringen
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oder kürzer
(1)
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Hier sieht man ohne weiteres, dass
ist, denn wir haben
genommen. Bilden wir nun das Product
, so findet sich:
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Nach der Gleichung (18) des vorigen Paragraphen ist aber
und
. Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, so zeigt sich:
(2)
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Beide Grössen
und
sind positiv und
, folglich muss
und
sein. Der Ausdruck (1) kann nun so geschrieben werden
(3)
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Nehmen wir
, so ist
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jedenfalls positiv und unter keinen Umständen Null. Ferner ist
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und
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folglich
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oder, was dasselbe ist:
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Es kann also für
der Nenner des allgemeinen Gliedes in
nicht Null und deshalb
nicht unendlich werden. Dasselbe lässt sich von
beweisen. In entsprechender Weise
|[202]findet man, dass
und
nicht unendlich werden können für
. Für
hat man aber
und für
ist
. Man darf also das Gültigkeitsgebiet der Ausdrücke für
und
einerseits und für
und
andererseits erweitern. Für jene darf der Punkt
, der anfänglich zwischen beiden Kugeln lag, durch die zweite Kugel hindurch beliebig weit auf der Axe der positiven
fortrücken, ohne dass die Ausdrücke (23) und (31) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich werden. Für diese darf der Punkt
aus seinem anfänglichen Gebiete durch die erste Kugel hindurch in der Richtung der negativen
beliebig weit verschoben werden, ohne dass die Ausdrücke (26) und (30) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich grosse Werthe geben. Da nun aber die vier Functionen nur innerhalb der einen oder der anderen Kugel unendlich werden können, so liegen die Unstetigkeitspunkte von
und von
innerhalb der ersten Kugel und die Unstetigkeitspunkte von
und von
innerhalb der zweiten Kugel. Beachtet man noch, dass die Ausdrücke für
und
mit dem Factor
, die Ausdrücke für
und
mit dem Factor
behaftet sind, und erinnert sich der Bemerkung am Schlusse des §. 48, so findet sich, dass für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln
(4)
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(5)
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(6)
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(7)
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Die Gleichungen (4) und (7) gelten auch noch für
, und die Gleichungen (5) und (6) für
. Danach hat man ein Mittel, die Constanten zu bestimmen, welche die Lage und die elektrische Ladung jedes Unstetigkeitspunktes angeben. Man hat nur in den Gleichungen (23), (26), (30), (31) des vorigen Paragraphen die Grösse
zu ersetzen durch
und hierauf die Nenner mit denen der entsprechenden Ausdrücke in den Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen in Uebereinstimmung zu bringen. Dann lassen die Werthe von
und
sich ohne weiteres ablesen. Man erhält
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(8)
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(9)
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(10)
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(11)
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Diese Werthe der Constanten hat man in die Ausdrücke (7) des §. 48 einzusetzen. Dann sind die Functionen
für jede beliebige Lage des Punktes
völlig bestimmt.
Uebrigens ist zu bemerken, dass die Lösung der Aufgabe sich durch Superposition aus vier speciellen Lösungen zusammensetzt. Es sind nemlich
und
die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der ersten und zweiten Gruppe unter der Voraussetzung, dass
von Null verschieden, und
. Und es sind
und
die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der dritten und vierten Gruppe, wenn
und
von Null verschieden.
Wir wollen noch den Satz zur Anwendung bringen, welcher in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Dabei ist nur zu beachten, dass hier
dieselbe Rolle spielt wie dort
. Wir setzen
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und finden nach dem eben citirten Satze:
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(12)
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für
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Man kann die Elektricitätsmengen auch auf einem anderen Wege berechnen, indem man den Satz (5) des §. 12 anwendet und die Bemerkung macht, dass die Gleichung (9) desselben Paragraphen hier zutrifft, dass aber hier
statt
gesetzt werden muss. Bezeichnet man also mit
und
ein Oberflächenelement der ersten und resp. der zweiten Kugel und mit
die nach innen gezogene Normale, so findet sich
(13)
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Dagegen ist
(14)
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wie ebenfalls aus dem Satze (5) des §. 12 hervorgeht.
Es ist leicht zu beweisen, dass die Reihen auf der rechten Seite der Gleichungen (12) convergent sind.