Schwere, Elektricität und Magnetismus:215

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 201
<< Zurück	Vorwärts >>
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Grösse und Lage jeder einzelnen fingirten Ladung.

Nenner des allgemeinen Gliedes lässt sich leicht in die Form bringen

$\alpha _{1}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{1}}{c}}\,\eta \right)-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{2}}{c}}\,\eta \right)$

oder kürzer

(1)	$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}(1-\lambda _{2}\,\eta ).\,$

Hier sieht man ohne weiteres, dass $\lambda _{2}>\lambda _{1}\!$ ist, denn wir haben $\alpha _{2}>\alpha _{1}\!$ genommen. Bilden wir nun das Product $\lambda _{1}\lambda _{2}\!$, so findet sich:

$\lambda _{1}\lambda _{2}={\frac {(a+b\,\alpha _{1})(a+b\,\alpha _{2})}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})+b^{2}\alpha _{1}\alpha _{2}}{c^{2}}}.\,$

Nach der Gleichung (18) des vorigen Paragraphen ist aber $a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2})\!$ und $\alpha _{1}\alpha _{2}=1\!$. Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, so zeigt sich:

(2)	$\lambda _{1}\lambda _{2}=1.\,$

Beide Grössen $\lambda _{1}\!$ und $\lambda _{2}\!$ sind positiv und $\lambda _{2}>\lambda _{1}\!$, folglich muss $\lambda _{2}>1\!$ und $\lambda _{1}<1\!$ sein. Der Ausdruck (1) kann nun so geschrieben werden

(3)	$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right).\,$

Nehmen wir $\eta \geq 1\!$, so ist

$\alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)\,$

jedenfalls positiv und unter keinen Umständen Null. Ferner ist

${\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1>\lambda _{1}\,\eta -1\,$

und

$\alpha _{2}^{k}>\alpha _{1}^{k},\,$

folglich

$\alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)>\alpha _{1}^{k}(\lambda _{1}\,\eta -1)\,$

oder, was dasselbe ist:

$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right)>0.\,$

Es kann also für $\eta \geq 1\!$ der Nenner des allgemeinen Gliedes in $\varphi _{11}(\eta )\!$ nicht Null und deshalb $\varphi _{11}(\eta )\!$ nicht unendlich werden. Dasselbe lässt sich von $\varphi _{22}(\eta )\!$ beweisen. In entsprechender Weise