Schwere, Elektricität und Magnetismus:217

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 203
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Grösse und Lage jeder einzelnen fingirten Ladung.

(8)

${\begin{aligned}&x_{k}'={\frac {ac\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}{a\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}},\\\,\\&m_{k}'={\frac {-abg\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{a\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}};\\\end{aligned}}$

(9)	${\begin{aligned}&x_{k}''={\frac {a^{2}\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+ab\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}''={\frac {abg\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}};\\\end{aligned}}$

(10)

${\begin{aligned}&x_{k}'''=\,{\frac {ac\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{a\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}'''=\,{\frac {-abh\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{a\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}};\\\end{aligned}}$

(11)	${\begin{aligned}&x_{k}''''={\frac {(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})(c^{2}-b^{2})-ab\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}''''={\frac {abh\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}.\\\end{aligned}}$

Diese Werthe der Constanten hat man in die Ausdrücke (7) des §. 48 einzusetzen. Dann sind die Functionen $V_{1}',\,V_{2}',\,V_{3}',\,V_{4}'\,$ für jede beliebige Lage des Punktes $(x,\,y,\,z)$ völlig bestimmt.

 Uebrigens ist zu bemerken, dass die Lösung der Aufgabe sich durch Superposition aus vier speciellen Lösungen zusammensetzt. Es sind nemlich $V_{1}'\!$ und $V_{2}'\!$ die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der ersten und zweiten Gruppe unter der Voraussetzung, dass $g\!$ von Null verschieden, und $h=0\!$. Und es sind $V_{3}'\!$ und $V_{4}'\!$ die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der dritten und vierten Gruppe, wenn $g=0\!$ und $h\!$ von Null verschieden.

 Wir wollen noch den Satz zur Anwendung bringen, welcher in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Dabei ist nur zu beachten, dass hier $-V\!$ dieselbe Rolle spielt wie dort $V\!$. Wir setzen

${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=R$

und finden nach dem eben citirten Satze: