Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 22.

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§. 22. Die Potentialfunction ist durch die Kennzeichen des §. 18 im ganzen unendlichen Raume eindeutig bestimmt.

 Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate bieten zunächst die Mittel dar, die im §. 18 aufgestellte Behauptung zu beweisen, dass durch die partielle Differentialgleichung von Laplace [§.18: (1)], durch eine der Gleichungen [§.18: (2), (3), (4), (5)] und die vier Nebenbedingungen [§. 18: (6), (7), (8), (9)] die Potentialfunction vollständig und eindeutig bestimmt ist.

 Um diesen Beweis zu führen, setzen wir fest, dass $T\!$ der ganze unendliche Raum sein soll. Die Hülfsfunction $U\!$ hat in diesem Falle einen sehr einfachen Ausdruck, nemlich

(1)	$U={\frac {1}{r}}={\frac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}.\,$

Denn diese Function genügt den aufgestellten Bedingungen. Sie ist gleich Null in der Begrenzung des Raumes $T\!$, d. h. in unendlicher Entfernung. Sie ist überall endlich und stetig, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{r}}$. Sie erfüllt im ganzen unendlichen Raume die partielle Differentialgleichung

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$

 Als Begrenzung des Raumes $T\!$ können wir eine Kugelfläche nehmen, deren Mittelpunkt im Punkte $(x',\,y',\,z')$ liegt und deren Radius $R\!$ unendlich gross ist. Der Satz des vorigen Paragraphen lautet dann:

(2)	${\begin{aligned}4\pi V'=&-\iiint {\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\;dy\;dz\\&+\int V{\frac {\partial U}{\partial n}}-U{\frac {\partial V}{\partial n}}d\sigma .\\\end{aligned}}$

Das dreifache Integral ist über den ganzen unendlichen Raum auszudehnen, das Oberflächen-Integral über die Kugel vom Radius $R\!$ und über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen der Function $V\!$ und ihrer ersten Derivirten. Die Beiträge, welche diese Unstetigkeitsstellen liefern, sind für jeden einzelnen Fall in (4), (5), (6) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Es handelt sich also nur noch um die Kugel vom Radius $R\!$. Für sie ist

${\frac {\partial V}{\partial n}}=-{\frac {\partial V}{\partial R}},\quad {\frac {\partial U}{\partial n}}=-{\frac {\partial U}{\partial R}}={\frac {1}{R^{2}}},\quad d\sigma =R^{2}d\omega ,\,$

wenn $d\omega \!$ das Oberflächen-Element einer Kugel vom Radius $1$ bezeichnet. Folglich erhalten wir

$\int \left(V\,{\frac {\partial U}{\partial n}}-U\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\right)d\sigma =\int d\omega \left(V+R{\frac {\partial V}{\partial R}}\right).$

Nun geht aber aus der Nebenbedingung des §. 18, (6) ohne weiteres hervor

$\lim V={\frac {M}{R}}=0$ für $R=\infty .\,$

Multiplicirt man ferner auf beiden Seiten der Gleichungen (7), (8), (9) des §.18 resp. mit $\cos(Rx),\;\cos(Ry),\;\cos(Rz)\!$ und addirt die Resultate, so ergibt sich

$\lim R^{2}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\,\cos(Rx)+{\frac {\partial V}{\partial y}}\,\cos(Ry)+{\frac {\partial V}{\partial z}}\,\cos(Rz)\right)=-M$

oder kürzer

$\lim \left(R^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial R}}\right)=-M,\,$

und daraus sieht man, dass

$\lim \left(R\,{\frac {\partial V}{\partial R}}\right)=0$ für $R=\infty .\,$

Das Integral, über die Kugelfläche vom Radius $R\!$ erstreckt, ist also Null, und deshalb hat man in (2) das Oberflächen-Integral nur noch über die Hüllen der Unstetigkeitsstellen von $V\!$ und seinen ersten Derivirten auszudehnen.

 Es sei nun erstens die anziehende Masse über einen im endlichen Gebiete völlig begrenzten Körper stetig vertheilt und nirgends eine endliche Masse über eine Fläche oder eine Linie ausgebreitet oder in einzelnen Punkten concentrirt. Dann sind die Function $V\!$ und ihre ersten Derivirten überall endlich und stetig. Es fällt also in (2) das Oberflächen-Integral gänzlich weg. Die Summe der zweiten Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ist aber Null, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des anziehenden Körpers liegt, und gleich $-4\pi \rho \!$, wenn er innerhalb liegt. Dies ist in den partiellen Differentialgleichungen (1) und (2) des §.18 ausgesprochen. Danach erhält man aus der Gleichung (2) des gegenwärtigen Paragraphen, wenn man noch den Factor $4\pi \!$ auf beiden Seiten weglässt:

(3)	$V'=\iiint \rho \,{\frac {dx\,dy\,dz}{r}}.$

Die dreifache Integration ist über den mit Masse erfüllten Raum auszudehnen.

 Wir nehmen zweitens den Fall, dass die anziehende Masse allein ausgebreitet ist über eine im endlichen Gebiete völlig begrenzte Fläche, und dass in einzelnen Linien oder Punkten eine endliche Masse nicht vorhanden ist. Alsdann ist im ganzen unendlichen Raume

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

Ferner ist $V\!$ überall endlich und stetig variabel, folglich in un- endlicher Nähe der anziehenden Fläche $V_{+0}=V_{-0}\!$. Danach wird aus der Gleichung (2), wenn man den Beitrag (4) des vorigen Paragraphen in Betracht zieht:

$4\pi \,V'=-\int {\frac {1}{r}}\left\{\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}\right\}d\sigma .$

Hier hat $p\!$ dieselbe Bedeutung wie in der Gleichung (3) des §. 18. Vermöge dieser Gleichung erhalten wir also

(4)	$V'=\int \rho \,{\frac {d\sigma }{r}}.$

Die Integration ist über die anziehende Fläche auszudehnen.

 Es sei drittens die anziehende Masse nur über eine Linie ausgebreitet und keine endliche Masse in einzelnen Punkten concentrirt. Dann ist in dem ganzen unendlichen Raume

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

In unendlicher Nähe der anziehenden Linie gilt die Gleichung (4) des §. 18. Folglich erhalten wir zu dem Oberflächen-Integral der Gleichung (2) den Beitrag [§. 21, (5)]:

$4\pi \int \rho \,{\frac {ds}{r}},\,$

und die Gleichung (2) gibt jetzt

(5)	$V'=\int \rho \,{\frac {ds}{r}}.\,$

Das Integral ist über die anziehende Linie zu erstrecken.

 Wenn endlich viertens die anziehende Masse $m\!$ in einem einzigen Punkte $(x,\,y,\,z)$ concentrirt ist, so gilt wieder für den unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

Ausserdem haben wir die Gleichung (5) des §. 18. In Folge davon ergibt sich zu dem Oberflächen-Integral der Gleichung (2) der Beitrag [§. 21, (6)]

${\frac {4\,\pi \,m}{r}},\,$

und wir erhalten aus Gleichung (2):

(6)	$V'={\frac {m}{r}}.\,$

 Aus den Gleichungen (3), (4), (5), (6) ersieht man, dass für jeden der zu betrachtenden Fälle die Differentialgleichungen des §. 18 und die dort aufgestellten Unstetigkeits- und Nebenbedingungen je eine einzige, völlig bestimmte Function liefern, und zwar stimmt der Ausdruck dieser Function, wie er aus den Vorschriften des §. 18 hervorgeht, überein mit dem Ausdrucke, welcher als Definition der Potentialfunction aufgestellt ist. Man erkennt dies unmittelbar durch Vergleichung der Ausdrücke (3), (4), (5), (6) mit resp. §. 2, (5), §. 14, (1), §. 17, (2), §. 2, (2). Damit ist die Behauptung des §. 18 bewiesen.

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