Mathematische Principien der Naturlehre/Buch1-X

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Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers Buch I. Abschnitt X.

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ABSCHNITT X.

Von der Bewegung der Körper auf gegebenen Oberflächen, und der Pendelbewegung.

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§. 86. Aufgabe. Gegeben ist eine Centripetalkraft beliebiger Art, das Centrum der Kräfte und die Ebene, in welcher der Körper sich bewegt. Vorausgesetzt wird, dass man krummlinige Figuren quadriren könne; man sucht die Bewegung eines Körpers, welcher von einem gegebenen Orte, mit gegebener Geschwindigkeit und längs einer, in jener Ebene gegebenen, geraden Linie ausgeht.

Fig. 92.

Es sei S das Centrum der Kräfte, SC die kleinste Entfernung desselben von der gegebenen Ebene, P der Ort, von welchem der Körper längs PZ ausgeht, Q derselbe in seiner Bahn sich bewegende Körper und PQR jene in der gegebenen Ebene beschriebene Bahn, welche gesucht wird. Man ziehe CQ und QS, und es sei SV der Centripetalkraft proportional, welche den Körper nach dem Centrum S hinzieht.

Zieht man

VT $\scriptstyle \parallel$ QC,

welche erstere die Linie CS in T schneidet, so wird die Kraft SV (nach Gesetze, Zusatz 2) in die Seitenkräfte ST und TV zerlegt, von denen ST, indem sie den Körper längs der auf die Ebene senkrechten Linie fortzieht, nichts in seiner Bewegung in der Ebene ändert. Die andere Kraft TV aber, welche längs der Ebene wirkt, zieht den Körper in derselben direct gegen den Punkt C und bewirkt, dass jener sich in dieser Ebene ebenso bewegt, als wenn die Kraft ST aufgehoben würde und der Körper, vermöge der Kraft TV allein, um das Centrum C sich im freien Räume bewegte. Ist aber die Centripetalkraft TV gegeben, vermöge welcher der Körper Q sich im freien Raume um das Centrum C bewegt; so erhält man nach §. 82. sowohl die Bahn PQR, welche beschrieben wird, also auch den Ort Q, in welchem der Körper sich zu einer beliebigen gegebenen Zeit befindet, und endlich die Geschwindigkeit desselben in jenem Orte Q, und umgekehrt.

§. 87. Lehrsatz. Vorausgesetzt, dass die Centripetalkraft dem Abstände des Körpers vom Centrum proportional sei, werden alle in beliebigen Ebenen sich bewegenden Körper Ellipsen beschreiben und dieselben in gleichen Zeiten durchlaufen. Körper aber, welche sich in geraden Linien hin- und her bewegen, werden die einzelnen Perioden eines Hin- und Herganges in gleichen Zeiten vollenden.

Unter denselben Voraussetzungen wie im vorigen §. ist die Kraft, durch welche der in der Ebene PQR sich bewegende Körper Q nach dem Centrum S hingezogen wird, dem Abstände SQ proportional. Da nun

SV : SQ = TV : CQ,

so ist die Kraft TV, welche den Körper gegen den in der Ebene der Bahn gelegenen Punkt C hinzieht, dem Abstände CQ proportional. Daher sind die Kräfte, durch welche die in der Ebene PQR befindlichen Körper gegen den Punkt C gezogen werden, nach Verhältniss der Abstände, gleich den Kräften, welche dieselben überall gegen das Centrum S hinziehen. Mithin bewegen sich die Körper in derselben Zeit, in denselben in der beliebigen Ebene PQR befindlichen Figuren um den Punkt C, in welcher sie sich im freien Räume um das Centrum S bewegen würden. Sie beschreiben daher (nach §. 27., Zusatz 2. und §. 78., Zusatz 2.) in stets gleichen Zeiten entweder Ellipsen in jener Ebene um das Centrum C, oder periodische geradlinige Bahnen, welche durch das Centrum C in jener Ebene gehen.   W. z. b. w.

§. 88. Anmerkung. Hiermit verwandt ist das Auf- und Absteigen der Körper auf krummen Oberflächen.

Man denke sich in einer Ebene Curven beschrieben, und lasse dieselben sich um irgend welche durch das Centrum der Kräfte gehende Axen drehen, und so krumme Oberflächen beschreiben. Hierauf mögen die Körper sich so bewegen, dass ihre Mittelpunkte sich beständig auf diesen Oberflächen befinden. Steigen nun jene Körper schräg auf und ab und laufen sie dies- und jenseits, so werden diese Bewegungen in Ebenen ausgeführt, welche stets durch die Axe gehen, mithin auf krummen Linien, durch deren Umdrehung jene krumme Oberflächen erzeugt worden sind. In diesen Fällen genügt es daher, die Bewegung in diesen Curven zu betrachten.

§. 89. Lehrsatz. Ein Rad steht ausserhalb einer Kugel unter einem rechten Winkel auf derselben und rollt längs eines grössten Kreises fort. Die Länge des krummlinigen Weges, welche irgend ein auf der Peripherie des Rades gegebener Punkt von der Berührung an beschrieben hat, verhält sich alsdann zum doppelten Sinus versus des halben Bogens am Rade, der in der Zwischenzeit die Kegel berührt hat, wie die Summe der Durchmesser von Kugel und Rad zum Halbmesser der ersteren.

§. 90. Lehrsatz. Steht dagegen ein Rad innerhalb der Kugel unter einem rechten Winkel auf ihrem Umfange und beschreibt es beim Fortrollen längs eines grössten Kreises eine Curve, so verhält sich die Länge des Weges, welcher irgend ein auf der Peripherie des Rades gegebener Punkt seit der Berührung beschrieben hat, zu dem doppelten Sinus versus des halben entsprechenden Bogens am Rade, wie der Unterschied der Durchmesser von Kugel und Rad zum Halbmesser der ersteren.

Es sei ABL die Kugel, C ihr Mittelpunkt, BPV das auf ihr befindliche Rad, E der Mittelpunkt des letztern, B der Berührungspunkt und

Fig. 93.

P ein auf der Peripherie des Rades gegebener Punkt. Man denke sich das Rad auf dem grössten Kreise ABL fortrollend, und zwar dergestalt, dass

$\scriptstyle \frown$ AB = BP

und jener Punkt P inzwischen den krummlinigen Weg AP beschreibt. Ist demnach der letztere beschrieben, seitdem das Rad die Kugel berührt hat, so soll sein

AP : 2 sin. vers. ½ PB = 2 CE : CB.

Trifft CE (nöthigenfalls verlängert) das Rad in V, so ziehe man

CP, BP, EP, VP

und fälle auf die verlängerte CP das Perpendikel VF. In V und P ziehe man die Tangenten VH und PH, welche sich in H schneiden, während die letztere VF in G begegnet, und fälle dann aus G und H auf PV die Perpendikel GJ und HK. Aus C als Mittelpunkt beschreibe man mit einem beliebigen Radius Co den Kreisbogen nom, welcher respective CP, BP und AP in

n, o und m

schneidet und hierauf aus V als Mittelpunkt mit dem Radius Vo den Bogen oq, welcher die Linie Vp oder deren Verlängerung in q schneidet.

Da das Rad bei seinem Fortrollen sich um den Berührungspunkt B dreht, so ist offenbar BP perpendikulär auf die Curve AP und daher VP Tangente an der Curve im Punkte P.^[1] Wird der Radius des Bogens noch merklich vergrössert oder verkleinert, so wird er gleich CP, und da die verschwindende Figur

1.   Pn omq ∼ PFG VJ;

so wird das letzte Verhältniss der verschwindenden Linien

Pm, Pn, Po, Pq,

d. h. das Verhältniss der gleichzeitigen Incremente von

AP, CP und $\scriptstyle \frown$ BP

und das Decrement von

VP,

respective identisch mit dem Verhältniss der Linien

PV, PF, PG, PJ.

Da aber VF perpendikulär auf CF, und ebenfalls VH senkrecht auf VC und so

$\scriptstyle \angle$ HVG = VCF ist;

da ferner (weil im Viereck HVEP, $\scriptstyle \angle$ V = P = 90°)

$\scriptstyle \angle$ VHP = 180° — VEP = CEP:

so ist

2.   Δ VHG ∼ CEP.

Wir haben daher die Proportion

EP : CE = HG : HV = HG : HP = KJ : KP,

und hieraus, weil

EP = EB, CE — BE : CE = JP : PK CB : CE = JP : KP

oder auch

3.   CB : 2 CE = JP : PV = Pq : Pm.

Es verhält sich daher das Decrement der Linie VP, d. h. das Increment von BV — VP,^[2] zum Increment der Curve AP constant wie

CB : 2 CE;

deshalb stehen (nach §. 4., Zusatz) die durch dieselben erzeugten Längen BV — VP und AP in demselben Verhältniss. Für BV als Radius ist aber

VP = cos BVP = cos ½BEP,

mithin

4.   BV — VP = 1 — cos ½BEP = sin vers. ½BEP,

und in dem gegebenen Rade, dessen Radius = ½BV, ist

5.   BV — VP = 2 sin vers. ½BEP.

Somit ergiebt sich zuletzt die Proportion

AP : 2 sin. vers. ½BP = 2 CE : CB.   W. z. b. w.

Die Linie AP werden wir aber, der Unterscheidung wegen, im ersteren Falle eine Cycloïde ausserhalb, im andern Falle eine Cycloïde innerhalb der Kugel^[3] nennen.

Zusatz 1. Beschreibt man die ganze Cycloïde ASL, und halbirt man dieselbe in S, so verhält sich die Curve PS zur Linie VP (welche letztere, für EB als Radius, gleich 2 sin VBP ist), wie

2 CE : CB.

Das Verhältniss beider ist also constant.

Zusatz 2. Die Länge des halben Umfanges der Cycloïde oder AS verhält sich zum Durchmesser BV des Rades, wie

2 CE : CB. Zusatz 3. Jene Länge ist daher, wenn man den Halbmesser der Kugel als gegeben ansieht, proportional dem Rechteck BE · EC.

§. 91. Aufgabe. Man soll bewirken, dass die Linie eines Pendels sich in einer gegebenen Cycloïde bewege.

Fig. 94.

Innerhalb der Kugel QVS, deren Mittelpunkt in C liegt, wird die Cycloïde QRS als beschrieben angenommen. Diese wird in R halbirt und schneidet mit ihren Endpunkten Q und S auf beiden Seiten die Oberfläche der Kugel. Man ziehe die Linie CR, welche den Bogen QS in O halbirt, verlängere dieselbe bis A,so dass

1.   CA : CO = CO : CR

werde und beschreibe aus C, mit CA als Halbmesser, die äussere Kugel ABD. Innerhalb der letzteren construire man mit einem Rade, dessen Durchmesser = AO, die beiden Halbcycloïden AQ und AS, welche die innere Kugel in Q und S berühren, die äussere in A schneiden. Von diesem Punkte A hänge an einem Faden APT, dessen Länge = AR, der Körper T herab, und schwinge so innerhalb der beiden Halbcycloïden AQ und AS, dass der Faden stets, so oft das Perpendikel von der perpendikulären Richtung abweicht, mit seinem obern Theile AP, sich auf die Halbcycloïde APS aufwickelt, gegen welche die Bewegung stattfindet. Der übrige Theil PT des Fadens, welcher mit der Cycloïde noch nicht in Berührung ist, dehne sich in eine gerade Linie aus; alsdann wird das Gewicht T auf der gegebenen Cycloïde QRS schwingen.

Der Faden PT schneide nämlich die Cycloïde QRS in T und den Kreis QOS in V, man ziehe CV, welche verlängert den Kreis ABD in B schneidet und errichte in den beiden Endpunkten P und T die Perpendikel PB und TW auf den geraden Theil des Fadens, welche Perpendikel CV in B und W schneiden. Aus der Entstehung der Cycloïde geht hervor, dass diese Perpendikel von CV die Längen

2.   VB = OA und VW = OR

abschneiden, also B in den Kreis ABD fällt. Man hat daher

TP : VP

= BW : BV = BV + VW : BV

3.   TP : VP = OA + OR : OA.

Aus Proportion 1. folgt

CA — CO : CO — CR = AO : OR = CA : CO, mithin OA + OR : AO = CA + CO : CA 4.   OA + OR : AO = 2 CE : CA

Nach 3. und 4. wird also

5.   TP : VP = 2 CE : CA

wo

6.   VP = 2 · ½BV sin VBP.

Ferner ist nach §. 90., Zusatz 1. 7. d. h. nach §. 90., Zusatz 2.

$\scriptstyle {\begin{cases}PE&=PS\\APT&=APS\\APT&=AR\end{cases}}$

Bleibt daher umgekehrt die Länge des Fadens immer = AR, so bewegt sich der Punkt T auf der Cycloïde QRS.   W. z. b. w.

Zusatz. Der Faden AR ist gleich dem halben cycloïdischen Bogen APS und hat daher zum Radius AC der äussern Kugel dasselbe Verhältniss, welches die ihm ähnliche Cycloïde SR zum Radius CO der innern Kugel hat.

§. 92. Lehrsatz. Wenn die überall nach dem Mittelpunkte C der Kugel gerichtete Centripetalkraft in den einzelnen Orten den Abständen dieser vom Mittelpunkte proportional ist, und der Körper T, lediglich in Folge dieser Kraft, nach der eben beschriebenen Weise auf der Cycloïde QRS schwingt; so sind die Zeiten beliebiger ungleicher Schwingungen einander gleich.

Auf die unbestimmt verlängerte Tangente TW der Cycloïde fälle man das Perpendikel CX und ziehe CT. Da die Centripetalkraft, welche den Körper T gegen C hinzieht, dem Abstande CT proportional ist, so zerlege man erstere (nach Gesetze, Zusatz 2.) in die Seitenkräfte CX und TX. Die erstere von diesen treibt den Körper direct von P fort, und spannt so den Faden an, wird jedoch durch den Widerstand des letztern ganz aufgehoben. Die zweite treibt den Körper transversal gegen X, und beschleunigt direct seine Bewegung in der Cycloïde. Offenbar verhält sich die, dieser beschleunigenden Kraft proportionale, Beschleunigung in den einzelnen Momenten, wie die Länge TX, d. h. weil

YX : TW = CV : VW,

und CV = CO, VW = OR, also beide constant, wie TW, oder (nach §. 90, Zusatz 1.) wie der Bogen TR.

Bei zwei Pendeln APT und Apt, welche ungleichweit vom Perpendikel AR entfernt und zugleich losgelassen werden, sind ihre Beschleunigungen stets den zu durchlaufenden Bogen TR und tR proportional. Die im Anfange beschriebenen Theile verhalten sich aber wie die Beschleunigungen, d. h. wie die ganzen im Anfange zu beschreibenden Bogen; deshalb verhalten sich auch die übrig bleibenden Theile und die folgenden, diesen Theilen proportionalen, Beschleunigungen ebenfalls wie die ganzen Wege, u. s. w. f.

Es verhalten sich demnach die Beschleunigungen, also auch die erzeugten Geschwindigkeiten, ferner die mit diesen Geschwindigkeiten beschriebenen Theile und endlich die noch zu beschreibenden Theile stets wie die ganzen Bogen.

Die zu beschreibenden Theile, welche immer dasselbe Verhältniss zu einander behalten, werden daher gleichzeitig verschwinden, d. h. zwei schwingende Körper gelangen gleichzeitig zum Perpendikel AR. Da umgekehrt das Ansteigen der Pendel vom unterstem Orte R, wenn es mit rückwärts gerichteter Bewegung durch denselben cycloïdischen Bogen erfolgt, in den einzelnen Punkten durch dieselben Kräfte verzögert wird, welche das Herabsteigen beschleunigt haben; so leuchtet ein, dass die Geschwindigkeiten des Auf- und Absteigens durch dieselben Bogen einander gleich sind und daher letztere in gleichen Zeiten erfolgen.

Da beide Theile RS und RQ der Cycloïde, auf den zwei Seiten des Perpendikels liegend, einander congruent sind, so werden Pendel sowohl ihre ganzen Schwingungen, als auch ihre halben immer in denselben Zeiten zurücklegen.   W. z. b. w.

Zusatz. Die den Körper T im beliebigen Orte T auf der Cycloïde beschleunigende oder verzögernde Kraft verhält sich zum ganzen Gewicht desselben Körpers im höchsten Orte S oder Q, wie

$\scriptstyle \frown$ TR : QR.

§. 93. Aufgabe. Man soll die Geschwindigkeit des Pendels in den einzelnen Orten und die Zeiten bestimmen, in welchen sowohl die ganzen Schwingungen, als einzelne Theile derselben zurückgelegt werden.

Fig. 95.

1. Aus einem beliebigen Mittelpunkte G beschreibe man mit einem Radius GH, welcher dem Bogen RS der Cycloïde (Fig. 94.) gleich ist, den Halbkreis HKM, der durch GK halbirt wird. Die der Entfernung vom Centrum proportionale Centripetalkraft sei nach dem Mittelpunkte G gerichtet und auf der Peripherie HJK der auf der Oberfläche der Kugel QOS nach deren Mittelpunkt gerichteten gleich. In derselben Zeit, in welcher das Pendel T von seinem höchsten Punkte S herabfällt, falle ein Körper L von H nach G. Da die Kräfte, welche die Körper im Anfange antreiben, einander gleich und den zu beschreibenden Wegen TR und GL stets proportional, daher wenn

TR = LG

in den Punkten T und L einander gleich sind; so ist es klar, dass jene Körper die gleichen Wege ST und HL im Anfange beschreiben, fortwährend durch gleiche Kräfte angetrieben werden und endlich stets gleiche Räume beschreiben.

Nach §. 78. verhält sich daher die Zeit, in welcher der Körper den Bogen ST beschreibt, zu der Zeit einer ganzen Schwingung, wie der Bogen HJ (die Zeit, in welcher der Körper von H nach L gelangt) zum Halbkreis HKM (der Zeit, in welcher der Körper den Weg von H bis M zurücklegt).

Ferner verhält sich die Geschwindigkeit des Pendels im Punkte T zu der im untersten Punkte R (d. h. die Geschwindigkeit des Körpers H im Punkte L zu derjenigen, weiche er im Punkte G hat, oder das augenblickliche Increment der Linie HL zu dem der Linie HG, wenn die Bogen HJ und HK mit gleicher Geschwindigkeit zunehmen) wie

JL : GK, oder wie $\scriptstyle {\sqrt {SR^{2}-TR^{2}:SR}}$.^[4]

Da nun bei ungleichen Schwingungen in gleichen Zeiten Bogen beschrieben werden, welche den ganzen Schwingungsbogen proportional sind; so erhält man aus den gegebenen Zeiten sowohl die Geschwindigkeiten, als auch die beschriebenen Bogen.

2. Es mögen nun Pendel in ungleichen Cycloïden schwingen, welche zwischen verschiedenen Kugeln beschrieben sind, und ihre absoluten Kräfte ebenfalls verschieden sein. Die absolute Kraft, welche der beliebigen Kugel QOS entspricht, werde V genannt; alsdann wird die beschleunigende Kraft, durch welche das Pendel auf dem Umfange dieser Kugel angetrieben wird, indem es anfängt, sich direct gegen das Centrum zu bewegen, dem Abstände der Linse von jenem Centrum und der absoluten Kraft zusammengenommen, d. h.

CO · V

proportional sein. Die Linie HY, welche dieser beschleunigenden Kraft

CO · V

proportional ist, wird daher in der gegebenen Zeit beschrieben, und wenn man das Perpendikel YZ errichtet, welches die Peripherie in Z schneidet; so bezeichnet der entstehende Bogen HZ jene Zeit. Dieser Bogen ist aber proportional

$\scriptstyle {\sqrt {GH\cdot HY}}$, d. h. $\scriptstyle {\sqrt {GH\cdot CO\cdot V}}$.^[5]

Daher wird die Zeit der ganzen Schwingung in der Cycloïde QRS (da sie direct der halben Peripherie HKM, welche jene ganze Schwingung bezeichnet und indirect dem Bogen HZ, welcher eine gegebene Zeit bezeichnet, proportional ist),

direct

dem Halbmesser GH und

indirect

$\scriptstyle {\sqrt {GH\cdot CO\cdot V}}$,

d. h. weil

GH = SR $\scriptstyle {\sqrt {\frac {SR}{CO\cdot V}}}$ oder (nach §. 91. Zusatz) $\scriptstyle {\sqrt {\frac {AR}{AC\cdot V}}}$

proportional sein.

Die Schwingungen, welche in Kugeln und Cycloïden bei beliebigen absoluten Kräften erfolgen, stehen daher in einem Verhältniss, welches aus dem halben directen der Fadenlänge, dem halben indirecten der Entfernung des Anfangspunktes vom Centrum und den halben indirecten Verhältniss der absoluten Kraft zusammengesetzt ist.

Zusatz 1. Hiernach können auch die Zeiten der schwingenden, fallenden und sich herumdrehenden Körper mit einander verglichen werden. Setzt man nämlich den Durchmesser des Rades, durch welches die Cycloïde innerhalb der Kugel beschrieben wird, gleich dem Halbmesser der letzteren; so wird die Cycloïde eine gerade Linie, welche durch den Mittelpunkt der Kugel geht. Die Schwingung in der Cycloïde geht demnach in ein auf einander folgendes Auf- und Absteigen längs dieser geraden Linie über. Hiernach kennt man sowohl die Zeit des Herabsteigens von irgend einem Orte zum Centrum, als auch den ihr gleichen Zeitraum, innerhalb dessen bei gleichförmiger Umdrehung und in beliebigem Abstande ein Körper um den Mittelpunkt der Kugel einen Viertel-Umkreis zurücklegt. Es verhält sich nämlich diese Zeit (nach 2. Fall) zur Zeit der halben Oscillation in irgend einer Cycloïde QRS, wie

1 : $\scriptstyle {\sqrt {\frac {AB}{AC}}}$

Zusatz 2. Hieraus kann man ferner noch diejenigen Resultate ableiten, welche Wren und Huygens für die gewöhnliche Cycloïde gefunden haben. Vergrössert man nämlich den Durchmesser der Kugel bis ins Unendliche, so verwandelt sich ihre sphärische Oberfläche in eine ebene, und es wirkt die Centripetalkraft längs Richtungslinien, welche auf dieser Ebene senkrecht stehen; unsere Cycloïde geht daher in die gewöhnliche über. In diesem Falle wird die Länge des cycloïdischen Bogens zwischen jener Ebene und dem beschreibenden Punkte gleich dem vierfachen Sinus versus der Hälfte des Bogens am Rade zwischen derselben Ebene und dem beschreibenden Punkte, wie Wren gefunden hat. Ferner wird ein Pendel, welches sich zwischen zwei Cycloïden dieser Art befindet, in einer congruenten Cycloïde und in gleichen Zeiten schwingen; diess hat Huygens bewiesen. Auch das Herabfallen schwerer Körper in der Zeit Einer Schwingung wird so erfolgen, wie der Letztere angegeben hat.

Die von uns bewiesenen Sätze werden aber der wahren Beschaffenheit der Erde angepasst, in so fern als Räder, welche auf den grössten Kreisen derselben fortgehen, durch die Bewegung ihrer Felgen Cycloïden ausserhalb der Kugel beschreiben; Pendel aber, welche unterhalb der Erde in Gräben und Höhlen aufgehängt werden, in Cycloïden innerhalb der Kugel schwingen müssen, damit alle Schwingungen isochronisch werden. Denn die Schwere nimmt (wie im dritten Buche gezeigt werden wird) von der Oberfläche der Erde an aufwärts im doppelten Verhältniss des Abstandes vom Mittelpunkte, abwärts im einfachen Verhältniss desselben ab.

§. 94. Aufgabe. Unter der Voraussetzung, dass man Curven quadriren könne, werden die Kräfte gesucht, vermöge welcher Körper auf gegebenen Curven immer isochronisch schwingen.

Es schwinge der Körper T auf der beliebigen Curve STRQ, deren Axe OR durch das Centrum C der Kräfte geht. Man zieht TX, welche die Curve im beliebigen Punkte T berührt und nehme auf dieser Tangente

TY = TR.

Fig. 96.

Die Länge des Bogens TR kennt man nämlich durch die Quadrate der Curven nach den gewöhnlichen Methoden. In Y errichte man perpendikulär auf TX die Linie YZ und ziehe CT, welche das Perpendikel in Z schneidet; alsdann wird die Centripetalkraft der Linie TZ proportional. Wird nämlich die Kraft, welche den Körper von T gegen C sieht, durch die ihr proportionale Linie TZ ausgedrückt, so kann man sie in die beiden Seitenkräfte TY und YZ zerlegen. Die letztere, welche den Körper längs der Richtung PT des Fadens zieht, ändert nichts in seiner Bewegung, die andere Kraft TY aber beschleunigt oder verzögert direct seine Bewegung in der Curve STRQ. Da nun ferner diese Kraft dem zu beschreibenden Wege TR proportional ist, so verhalten sich die Beschleunigungen oder Verzögerungen in den zu beschreibenden proportionalen Theilen zweier Schwingungen (einer grösseren und einer kleineren) stets wie diese Theile; sie bewirken also, dass jene Theile zugleich beschrieben werden. Körper aber, welche den ganzen Wegen proportionale Theile in derselben Zeit beschreiben, beschreiben auch die ganzen Wege gleichzeitig.   W. z. b. w.

Fig. 97.

Zusatz 1. Hängt der Körper T an einem geradlinigen Faden AT vom Mittelpunkte A herab und beschreibt er so den Kreisbogen STRQ; so werden die Zeiten der einzelnen Schwingungen einander gleich, wenn er durch irgend eine Kraft nach parallelen Richtungslinien so abwärts gezogen wird, dass diese Kraft sich zur gleichförmigen Kraft der Schwere verhält, wie

$\scriptstyle \frown$ TR : sinTR (sinTR = TN).

Da nämlich

TZ $\scriptstyle \parallel$ AR,

so ist

Δ ANT ∼ TYZ

mithin

TZ : AT = TY : TN.

Zusatz 2. Wenn daher in den Pendeluhren die, von Seiten der Maschine auf das Pendel zur Erhaltung der Bewegung einwirkenden Kräfte so mit der Kraft der Schwere zusammengesetzt werden können, dass die ganze resultirende abwärts gerichtete Kraft

$\scriptstyle {\frac {TR\cdot AR}{\sin TR}}$

proportional wird, so werden alle Schwingungen isochronisch.

§. 95. Aufgabe. Es wird die Quadratur krummliniger Figuren vorausgesetzt; man sucht die Zeiten, in denen die Körper vermöge irgend einer Centripetalkraft auf beliebigen Curven auf- und absteigen, welche letztern in der durch das Centrum der Kräfte gehenden Ebene liegen.

Fig. 98.

Es steige ein Körper vom Punkte S aus längs der beliebigen Curve STtR, welche in der durch das Centrum C der Kräfte gehenden Ebene liegt, herab. Man ziehe CS, theile dieselbe in unzählige gleiche Theile, von denen Dd einer sei. Hierauf schlage man aus C als Mittelpunkt mit den Radien CD und Cd die Kreisbogen DT und dt, wodurch die Curve SR in T und t geschnitten wird. Aus dem bekannten Gesetz der Centripetalkraft und der Höhe CS, aus welcher der Körper gefallen ist, ergibt sich nach §. 79. die Geschwindigkeit desselben in irgend einer Hohe CT. Die Zeit aber, in welcher der Körper die kleine Linie Tt beschreibt, ist direct ihrer Länge d. h. der Seconte tTC und indirect der Geschwindigkeit proportional. Dieser Zeit sei die, zur Abscissenaxe CS gehörige Ordinate DN proportional, also auch, weil Dd gegeben ist, die Zeit dem Producte

Dd · DN,

d. h. dem Rechteck DNnd ebenfalls proportional. Ist daher PNn, die Curve, in welcher der Punkt N beständig liegt, QS auf CS perpendikulär ihre Asymptote; so wird die Fläche

SQPNDS

derjenigen Zeit proportional, in welcher der herabsteigende Körper die Curve ST beschreibt und bestimmt man jene Fläche, so erhält man auch die Zeit.

§. 96. Lehrsatz. Ein Körper bewegt sich auf einer beliebigen krummen Oberfläche, deren Axe durch das Centrum der Kräfte geht. Fallt man nun vom Körper ein Perpendikel auf die Axe und zieht man von einem andern Punkte derselben eine ihr parallele und gleiche Linie, so beschreibt diese eine der Zeit proportionale Fläche.

Es sei BSKL die krumme Oberfläche, T der auf ihr sich bewegende Körper, STtR der Weg, welchen der Körper auf ihr beschreibt, S der Aufgangspunkt dieses Weges, OMNK die Axe der krummen Oberfläche, TN das vom Körper auf die Axe gefällte Perpendikel. Ferner sei

Fig. 54.

OP $\scriptstyle \parallel$ und = TN

von dem auf der Axe gegebenen Punkte O gezogen, AP ein Theil der Bahn, welche der Punkt P in der Ebene AOP der beweglichen Linie OP beschreibt, A der Anfangspunkt dieser Bahn und dem Punkte S entsprechend. TC ist eine vom Körper nach dem Centrum gezogene Linie, TG ein Theil derselben und derjenigen Centripetalcraft proportional, durch welche der Körper nach dem Centrum hingezogen wird. TM ist eine gerade, auf die krumme Oberfläche perpendikuläre Linie, TJ derjenige Theil derselben, welcher dem Drucke, den der Körper auf die Oberfläche und umgekehrt ausübt, proportional ist. PHTF ist eine der Axe parallele und durch den Körper gehende Linie, endlich sind GF und JH Perpendikel, welche von den Punkten G und J auf diese Parallele gefällt sind.

Es soll die Fläche AOP, welche der Radius OP vom Anfang der Bewegung an beschrieben hat, der Zeit proportional sein. Die Kraft TG wird nämlich (nach Gesetze, Zusatz 2.) in die Seitenkräfte TF und FG, ebenso die Kraft TJ in die Seitenkräfte TH und JH zerlegt. Die Kräfte TF und TH wirken nun längs der auf die Ebene AOP senkrechten Wirkungslinie PF, und können die Bewegung des Körpers nur in Bezug auf diese Richtung ändern. Was dagegen die Bewegung des Körpers in dieser Ebene, d. h. die Bewegung des Punktes P, wodurch die Bahn AP beschrieben wird, betrifft; so ist es dasselbe, als ob die Kräfte TF und TH aufgehoben und der Körper nur durch die Kräfte FG und HJ angetrieben würde. Demnach ist dieser Fall identisch mit demjenigen, wo der Körper in der Ebene AOP, angetrieben durch eine nach dem Centrum gerichtete und der Summe der Kräfte FG und HJ gleiche Centripetalcraft, die Curve AP beschriebe. In Folge einer solchen Kraft wird aber (nach §. 13.) die Fläche AOP der Zeit proportional beschrieben.   W. z. b. w.

Zusatz. Auf dieselbe Art wird bewiesen, dass, wenn ein Körper von Kräften angetrieben wird, welche nach zwei oder mehreren Mittelpunkten auf der Linie CO gerichtet sind, und derselbe im freien Räume die Curve ST beschreiben würde, alsdann die Fläche AOP immer der Zeit proportional sein wird.

§. 97. Aufgabe. Vorausgesetzt wird die Quadratur krummliniger Figuren, und gegeben ist sowohl das Gesetz der nach einem bestimmten Centrum gerichteten Centripetalkraft, als auch die krumme Oberfläche, deren Axe durch jenes Centrum geht. Man sucht die Curve, welche der Körper auf derselben Fläche beschreiben wird, wenn er von einem gegebenen Punkte, mit gegebener Geschwindigkeit und nach einer bestimmten Richtung auf der Fläche ausgeht

Bei derselben Construction wie im vorhergehenden §. geht der Körper T vom Orte S auf die zu findende Bahn STQR zu, deren Spur in der Ebene BOL die Curve AP sei. Aus der in der Höhe SC gegebenen Geschwindigkeit erhält man diese für irgend eine andere Höhe TC. Mit dieser Geschwindigkeit beschreibe der Körper in einer gegebenen sehr kleinen Zeit den kleinen Theil Tt seiner Bahn, dessen Spur in der Ebene AOP die Linie Pp sei. Man ziehe Op, und des kleinen, aus T mit Tt als Radius beschriebenen Kreises elliptische Projection auf die Ebene AOP sei die kleine Ellipse pQ. Da der Kreis Tt, sein Abstand TN = PO von der Axe gegeben ist, so kennt man jene Ellipse ihrer Form und Grösse nach, wie auch nach ihrer Lage gegen PO. Da ferner die Fläche POp der Zeit proportional, und folglich bei gegebener Zeit bekannt ist; so kennt man $\scriptstyle \angle$ POp und Op ihrer Lage nach und so den gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt p derselben mit der Ellipse, wie auch den Winkel OPp, unter welchem die Bahn APp die Linie OP schneidet. Hiernach findet man jene Bahn APp selbst nach derselben Methode, nach welcher in §. 81. die Curve VJKk aus ähnlichen Daten gefunden wurde. Errichtet man hierauf in den einzelnen Punkten P der Bahn Perpendikel PT auf der Ebene AOP, welche die krumme Oberfläche in T schneiden, so erhält man die einzelnen Punkte T der zu findenden Bahn.

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Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

1. No. 43. S. 157. Dass VP Tangente an der Curve im Punkt P sei, (Fig. 93.) wird analytisch sehr leicht bewiesen. Man kann sieh aber auch wie im Text vorstellen, dass das Element der Curve bei P beschrieben wird, indem die Linie BP sich um B drehet; alsdann ist BP der Radius des osculirenden Kreises und die darauf senkrechte Linie VP Tangente an der Curve.
2. No. 44. S. 157. Da BV als Durchmesser constant, also sein Increment = ist, so wird das Increment von BV — VP identisch mit dem Decremente von VP.
3. No. 45. S. 157. Die Cycloïde ausserhalb und innerhalb der Kugel wird jetzt bezüglich Epicycloïde und Hypocycloïde genannt.
4. No. 46. S. 161. Setzt man den Bogen JH = s, LH = x (Fig. 95.) und nimmt man an, dass JH und KH um gleiche Incremente ds wachsen, so erhält man aus x = r — r cos s, wo der Radius durch r bezeichnet ist, und durch Differentiation 1.   dx = r sin s · ds.

   Ferner setze man den Quadranten HK = X, alsdann wird nach 1.

   2.   dX = rds, weil jetzt s = 90°.

   und so nach 1. und 2. dx : dX = r sin s : r = JL : GK. Da nun GK = GH = SR, GL = TR, und JL = $\scriptstyle {\sqrt {GJ^{2}-GL^{2}}}={\sqrt {SR^{2}-TR^{2}}}$.

   3.   dx : dX = $\scriptstyle {\sqrt {SR^{2}-TR^{2}}}$ : SR.
5. No. 47. S. 161. Vorausgesetzt, dass HY und HZ als sehr klein angesehen werden dürfen, kann man den letzteren statt seiner Sehne setzen, und es ist HZ² = HY · MH = 2GH · HY, also HZ = $\scriptstyle {\sqrt {2GH\cdot HY}}$ oder proportional $\scriptstyle {\sqrt {GH\cdot HY}}$.

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