Elektrische Kraft Hertz:237

 

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
Seite 237
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13. Ueber die Grundgleichungen der Elektrodynamik.

$(13_{\text{a}})\quad {\frac {dZ}{dy}}-{\frac {dY}{dz}}={\frac {dX}{dz}}-{\frac {dZ}{dx}}={\frac {dY}{dx}}-{\frac {dX}{dy}}=0.\,$

Die Kräfte besitzen demnach ein Potential $\varphi \,$, dessen negativen Differentialquotienten sie gleich gesetzt werden können. Da die Kräfte überall endlich sind, ist $\varphi \,$ überall stetig, es kann auch durch die Leiter hindurch fortgesetzt werden und ist alsdann in diesen als constant zu betrachten. An einer Grenzfläche setzen sich die zur Grenzfläche tangentialen Differentialquotienten von $\varphi \,$ stetig durch die Fläche fort. Bezeichnet im übrigen $e\,$ die räumliche Dichte der freien Elektricität, so genügt nach Abschnitt 10 das Potential $\varphi \,$ überall im Raume der Gleichung $\Delta \varphi =-4\pi e_{f}\,$, welche im freien Aether die Form $\Delta \varphi =0\,$ annimmt, und deren sinngemässe Umformung für die Trennungsfläche heterogener Körper daselbst die Bedingung ergiebt:

$\left({\frac {d\varphi }{dn}}\right)_{2}-\left({\frac {d\varphi }{dn}}\right)_{1}=-4\pi e'_{f},\,$

unter $e'_{f}\,$ die Flächendichtigkeit der freien Elektricität verstanden. Aus der Gesammtheit dieser Bedingungen folgt für $\varphi \,$ der bis auf eine willkürlich bleibende Constante eindeutig bestimmte Werth $\varphi =\int (e_{f}/r)d\tau ,\,$ das Integral über den ganzen Raum, unter sinngemässer Berücksichtigung der Grenzflächen erstreckt. Bei gleicher Vertheilung des Potentials und der Kräfte in verschiedenen Nichtleitern sind also die freien Elektricitäten die gleichen. Die entsprechenden Mengen der wahren Elektricitäten aber sind verschieden und stehen für das Innere zweier homogener Nichtleiter im Verhältniss der Dielektricitätsconstanten. Die Bedingung dafür, dass die Dichtigkeit der wahren Elektricität im Innern der Nichtleiter gegebene Werthe $e_{w}\,$ habe, ist, wenn wir uns für den Augenblick auf isotrope Körper beschränken:

${\frac {d}{dx}}\left(\varepsilon {\frac {d\varphi }{dx}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left(\varepsilon {\frac {d\varphi }{dy}}\right)+{\frac {d}{dz}}\left(\varepsilon {\frac {d\varphi }{dz}}\right)=-4\pi e_{w},\,$

welche an der Grenze zweier isotroper Körper die Form annimmt:

$\varepsilon _{2}\left({\frac {d\varphi }{dn}}\right)_{2}-\varepsilon _{1}\left({\frac {d\varphi }{dn}}\right)_{1}=-4\pi e'_{w},\,$

unter $e'_{w}\,$ die Flächendichte der wahren Elektricität verstanden.

     Werfen wir noch unser Augenmerk auf den Energievorrath