Eine Bemerkung zum Dopplerschen Effekt

Eine Bemerkung zum Dopplerschen Effekt.

Auszug aus der im „Rad“, Bd. 208 (1915), S. 110, veröffentlichten Abhandlung.

Von Dr. V. Varićak.

Anknüpfend an eine frühere Arbeit^[1] wird in der vorliegenden ein weiterer spezieller Fall des Dopplerschen Effektes behandelt. Es sei $AM=u'$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der betrachteten Wellenbewegung.

Der Beobachter enferne sich von der Schwingungsquelle normal zur Strahlrichtung mit der Geschwindigkeit $MB=u$. Der von ihm in der Zeiteinheit zurückgelegte Weg ist dargestellt durch den Grenzkreisbogen $BC=c\,\mathrm {sh} \,u$. Die Projektion dieses Weges in die Strahlrichtung ist $MC=u_{1}$. Die Schwingungszahl $\nu$ wird um die Anzahl der Wellenlängen, die in dem Grenzkreisbogen $AN'$ enthalten sind, vermindert. Es wird also

${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {AN'}{AN}}={\frac {\mathrm {sh} \left(u'-u_{1}\right)}{\mathrm {sh} \,u'}}$

welche Formel für $u'=\infty$ in

${\frac {\nu '}{\nu }}=e^{-u_{1}}$

übergeht. Nach einer Grundformel der Lobatschefskijschen Geometrie ist aber

$e^{u_{1}}=\mathrm {ch} \,u$,

und so wird

$\nu '=\nu {\sqrt {1-\,\mathrm {th} \,^{2}u}}.$

Führt man hier die reduzierte Geschwindigkeit mittels der Relation

${\frac {v}{c}}=\mathrm {th} \,u$.

ein, so erhält man

$\nu '=\nu {\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}$.

Nähert sich der Beobachter der Schwingungsquelle, so hat man $u'+u$ statt $u'$ zu nehmen, und es wird

${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {\mathrm {sh} (u'+u)}{\mathrm {sh} \,u'}}$,

oder

$\nu '={\frac {\nu }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$

Anmerkungen

1. Dieses Bulletin, Heft 2, S. 46.