Differentialgleichungen der Elektrodynamik I

Über die Differentialgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper;

von W. Wien

I.

Von den bisher aufgestellten Differentialgleichungen, welche die Maxwellsche Theorie für den Fall der Bewegung verallgemeinern, hat sich die von H. A. Lorentz^[1] am besten bewährt. Die Theorie von H. Hertz,^[2] wonach der Träger der elektromagnetischen Wirkungen sich mit derselben Geschwindigkeit bewegen soll, wie die Materie, wird durch den von Michelson und Morley^[3] wiederholten Fizeauschen Versuch widerlegt, der zeigt, daß ein Lichtstrahl von bewegtem Wasser nur in mit einem bestimmten Bruchteil der Geschwindigkeit mitgezogen wird. Da bisher alle Versuche eine Bewegung des Lichtäthers in dem von Materie freien Raum nachzuweisen gescheitert sind, liegt für die Theorie keine Veranlassung vor, sich mit der Komplikation einer derartigen Möglichkeit zu befassen.

Neuerdings ist von E. Cohn^[4] ein System von Gleichungen für bewegte Körper aufgestellt, das in der Tat zunächst geeignet erscheint, den beobachteten Tatsachen gerecht zu werden. So hat es vor dem Lorentzschen sogar den Vorzug, das negative Ergebnis des Michelsonschen Interferenzversuches ohne Zuhilfenahme einer weiteren Hypothese zu erklären, während Lorentz die Annahme machen muß, daß die Dimensionen der festen Körper von der Geschwindigkeit abhängig sind.

Dagegen enthält die Theorie von Cohn wieder in anderer Hinsicht Schwierigkeiten. Bezeichnen wir den elektrischen Vektor mit ${\mathfrak {E}}$, den magnetischen mit ${\mathfrak {H}}$ die Lichtgeschwindigkeit mit c, die Translationsgeschwindigkeit mit v, so lauten die Differentialgleichungen von Cohn in bekannten Vektorsymbolen für den freien Äther, bezogen auf relative Koordinaten

${\frac {\partial {\mathfrak {D}}}{\partial t}}=c\ \mathrm {rot} \ {\mathfrak {H}},\ {\frac {\partial {\mathfrak {B}}}{\partial t}}=-c\ \mathrm {rot} \ {\mathfrak {E}},$ ${\mathfrak {D}}={\mathfrak {E}}-\left[{\frac {v}{c}}{\mathfrak {H}}\right],\ {\mathfrak {B}}={\mathfrak {E}}+\left[{\frac {v}{c}}{\mathfrak {H}}\right].$

Bei stationärer Bewegung eines geladenen Körpers würden daher die Differentialgleichungen direkt in die eines ruhenden Körpers übergehen und nur eine magnetische Wirkung, dem Biot-Savartschen Gesetz entsprechend, übrig bleiben. Diese Folgerung steht mit der Heavisideschen Lösung der Feldgleichungen bewegter Ladungen im Widerspruch und da diese durch die Versuche von Kaufmann eine weitgehende Bestätigung erfahren hat, so scheint mir die Theorie von Cohn nicht mit den Tatsachen in Übereinstimmung zu stehen, wenn nicht eine Verschiedenheit der elektromagnetischen Energie, je nachdem die Erregung von bewegten oder von ruhenden Körpern ausgeht, angenommen wird. Dies würde wieder zu neuen prinzipiellen Schwierigkeiten führen.

Eine andere Schwierigkeit erwächst der Cohnschen Theorie aus der Fortpflanzungsgeschwindigkeit eines von einer bewegten Quelle ausgehenden Lichtstrahles.

Nehmen wir als Richtung des Strahles die x-Achse und den, in derselben Richtung sich bewegenden, leuchtenden Punkt unendlich entfernt, so daß wir nur ebene Wellen zu betrachten haben. Die y-Achse soll dem elektrischen Vektor parallel sein. Dann sind nur ${\mathfrak {E}}_{y}$ und ${\mathfrak {H}}_{z}$ von Null verschieden und wir haben die Gleichungen

${\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{y}}{\partial t}}-{\frac {v}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{z}}{\partial t}}=-c{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{z}}{\partial x}},$ ${\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{z}}{\partial t}}-{\frac {v}{c}}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{y}}{\partial t}}=-c{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{y}}{\partial x}}.$

Durch Elimination von ${\mathfrak {H}}_{z}$ ergibt sich

${\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial t^{2}}}+2v{\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial x\ \partial t}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial x^{2}}},$

oder wenn wir $1-v^{2}/c^{2}=\varkappa ^{2}$ setzen

$\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial t^{2}}}+2v{\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial x\ \partial t}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {E}}_{y}}{\partial x^{2}}}.$ Setzen wir einer ebenen Welle entsprechend ${\mathfrak {E}}_{y}=Ae^{i(nt-bz)},$

so wird

$\varkappa ^{2}n^{2}-2nbv=c^{2}b^{2},$

woraus die Fortpflanzungsgeschwindigkeit

${\frac {n}{b}}={\frac {v+{\sqrt {v^{2}+c^{2}\varkappa ^{2}}}}{\varkappa ^{2}}}$ $={\frac {c+v}{\varkappa ^{2}}}$

folgt.

Dies ist die auf relative Koordinaten bezogene Geschwindigkeit.

Bringt man den betrachteten Punkt durch Hinzufügen einer Geschwindigkeit -v in absolute Ruhe, so ist die absolute Geschwindigkeit des Strahles

${\frac {c+v}{\varkappa ^{2}}}-v=c\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {v^{3}}{c^{3}}}+\dots \right).$

Es würde sich daher ein Lichtstrahl, der von einem bewegten leuchtenden Punkt kommt, schneller fortpflanzen als wenn er von einem ruhenden ausgegangen wäre und zwar in erster Näherung unabhängig von der Bewegungsrichtung des leuchtenden Punktes, ein Resultat, das die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und damit die Grundlagen der Maxwellschen Theorie angreifen würde.

Denn es muß für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer einmal von der Strahlungsquelle losgelösten Strahlung gleichgültig sein, ob sich diese bewegt hat oder nicht.

Der größte Teil der Schwierigkeiten für die Theorie der Elektrodynamik bewegter Körper rührt davon her, daß man einerseits die Bewegungsmöglichkeit des Äthers in die Theorie aufnehmen wollte, andererseits eine Trennung von Äther und Materie für nötig hielt. Stellt man sich dagegen auf den zuerst von Lorentz eingenommenen Standpunkt, daß alle Wechselwirkung zwischen Äther und Materie nur durch die Elementarladungen der Atome hervorgerufen werden, so fallen fast alle jene Schwierigkeiten von selbst fort und das Maxwellsche System für ruhende Körper genügt völlig, um auch die Elektrodynamik bewegter Körper ohne Zuhilfenahme irgend einer Hypothese zu umspannen. Da von der anderen Seite die chemischen Eigenschaften der Körper notwendig fordern, die Kontinuität der Materie aufzugeben und die Materie als aus Elementarquanten in unstetiger Weise bestehend anzunehmen, so scheint mir um so mehr die Annahme dieses Systems geboten.

Hiernach ist ein Bewegungsvorgang für die Elektrodynamik die Bewegung einer Elementarladung durch den Raum. Es ist dies ein Vorgang, der noch vollständig in die Theorie ruhender Körper gehört. Denn daß sich ein Quantum Elektrizität bewege, und welche elektromagnetischen Wirkungen dadurch hervorgerufen werden, das vermag die Maxwellsche Theorie ohne weiteres zu behandeln. Solange es sich um geordnete Bewegungen handelt, d. h. die Komplikationen der Wärmelehre nicht mitspielen, ist es im allgemeinen vollständig ausreichend, die Bewegung einer einzigen Elementarladung zu verfolgen. Jedenfalls gehören die Erscheinungen, die auf der Wechselwirkung vieler Atome beruhen, zu denen, die eine genauere Behandlung vorläufig ausschließen.

Aus diesem Grunde ist auch das allgemeine Integral, das Lorentz^[5] als Lösung seiner Gleichungen für die Wirkung der Bewegung beliebig vieler Atome benutzt, zwar für prinzipielle Untersuchungen von großem Werte, für die Behandlung des Problems der Bewegung eines einzelnen Elementarquantums, eines „Elektrons" weniger geeignet, weil es für diesen Spezialfall zu kompliziert ist. Infolgedessen ist auch die Theorie bewegter Elektronen über den bereits von Heaviside erledigten Fall, der Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, nicht erheblich hinausgekommen. Von Wichtigkeit ist die zuerst eben falls von Lorentz eingeführte, dann von Abraham^[6] auf Grund der Poincaréschen^[7] „elektromagnetischen Bewegungsgröße" abgeleiteten Unterscheidung zwischen „longitudinaler" und „transversaler" Masse, deren quantitative Messung indessen auf Anwendung der Maxwellschen ponderomotorischen Wirkungen und demnach auf einer sehr wahrscheinlichen, aber nicht ganz hypothesenfreien Grundlage beruht. Es soll im folgenden zunächst gezeigt werden, daß man zu einem mit dem Lorentzschen System der Elektrodynamik übereinstimmenden gelangt entweder wenn man ein Elektron als ruhend annimmt und den Äther mit der entgegengesetzten Geschwindigkeit strömen läßt, wobei dann der Einfluß der Bewegung nach Analogie der Eulerschen hydrodynamischen Gleichungen in der Weise einzufüren ist, daß man

${\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}-v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}-v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}-v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}$

setzt, oder indem man die gewöhnlichen Maxwellschen Gleichungen benutzt und die Ladung mit ihrer Geschwindigkeit sich bewegen läßt. Wir werden damit gleichzeitig ein Integral erhalten, das die Verallgemeinerung eines für die Ruhe bekannten elektromagnetischen Vorganges für eine beliebige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit enthält.

1. Beziehung der Lorentzschen Gleichungen zu denen für ruhende Körper.

Wir legen die x-Achse in die augenblickliche Bewegungsrichtung und nehmen im übrigen an, daß die Geschwindigkeit eine beliebige kontinuierliche und differenzierbare Funktion der Zeit ist, und setzen

$v_{x}=f(t)=v,$

dann erhalten wir das Gleichungssystem für diese Bewegung, wenn wir in das für ruhende Körper anstatt

${\frac {d}{dt}}$ jetzt ${\frac {\partial }{\partial t}}-v{\frac {\partial }{\partial x}}$

setzen

(1)

${\begin{cases}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}-v_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial x}}=c\ \mathrm {rot} \ {\mathfrak {H}},\\\\{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial t}}-v_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial x}}=-c\ \mathrm {rot} \ {\mathfrak {E}},\end{cases}}$

Elimination von ${\mathfrak {E}}$ und ${\mathfrak {H}}$ gibt die allgemeine Gleichung

(2)

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-2f{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial t}}+(f^{2}-c^{2}){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-{\frac {df}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}.\\\\\qquad =c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right).\end{cases}}$

Wir führen nun zwei neue Variabele $\xi$ und $\eta$ anstatt t und x ein mit Hilfe der Gleichungen

(3)	${\begin{cases}\xi =\alpha t+\beta \varphi (t)+\gamma x\\&\varphi (t)=\int f(t)dt.\\\eta =\alpha _{1}t+\beta _{1}\varphi (t)+\gamma _{1}x\end{cases}}$

Anstatt der Gleichung (2) erhalten wir dann die neue

(4)

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi }}\left\{\left({\frac {\partial \xi }{\partial t}}\right)^{2}-2f{\frac {\partial \xi }{\partial t}}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+(f^{2}-c^{2})\left({\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)^{2}\right\}\\\\+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \eta ^{2}}}\left\{\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}\right)^{2}-2f{\frac {\partial \eta }{\partial t}}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+(f^{2}-c^{2})\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)\right\}\\\\+2{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi \ \partial \eta }}\left\{{\frac {\partial \xi }{\partial t}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}-f\left({\frac {\partial \xi }{\partial t}}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial \eta }{\partial t}}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)\right.\\\\\qquad \left.+(f^{2}-c^{2}){\frac {\partial \xi }{\partial x}}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right\}\\\\+{\frac {\partial \varphi }{\partial \xi }}\left\{{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}-{\frac {df}{dt}}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right\}+{\frac {\partial \varphi }{\partial \eta }}\left\{{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-{\frac {df}{dt}}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right\}\\\\\qquad =c^{2}\left\{{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right\}.\end{cases}}$

Wir können diese Differentialgleichung auf die zurückführen, die aus (2) entsteht, wenn $v_{x}=0$ gesetzt wird. Zu dem Zweck verlangen wir, daß die Faktoren von

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi \ \partial \eta }},\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \xi }},\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \eta }}$

verschwinden sollen. Nun ist

(5)	${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}=\beta {\frac {df}{dt}},\ {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t}}=\beta _{1}{\frac {df}{dt}},\ {\frac {\partial \xi }{\partial x}}=\gamma ,\ {\frac {\partial \eta }{\partial x}}=\gamma _{1},$ $\beta =\gamma ,\ \beta _{1}=\gamma _{1},$

wenn die Faktoren von $\partial \varphi /\partial \xi$ und $\partial \varphi /\partial \eta$ verschwinden sollen. Der Faktor von $\partial ^{2}\varphi /\partial \xi \ \partial \eta$ verschwindet, wenn außerdem noch $\alpha \alpha _{1}=c^{2}\gamma \gamma _{1}$ ist. Wir behalten dann die Gleichung

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi ^{2}}}(\alpha ^{2}-c^{2}\gamma ^{2})+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \eta ^{2}}}(\alpha _{1}^{2}-c^{2}\gamma _{1}^{2})=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right),$

die von derselben Form, wie die gewöhnliche

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=\Delta \varphi$ ist, wenn wir in dieser anstatt x die Größe $\eta c/{\sqrt {\alpha _{1}^{2}-c^{2}\gamma _{1}^{2}}}$, anstatt c die Größe $c{\sqrt {\alpha ^{2}-c^{2}\gamma ^{2}}}$ setzen. Das Integral $F(ct-r)/r$, $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ der gewöhnlichen Gleichung geht daher für unsere in das ${\frac {1}{r}}F\left({\frac {c}{\sqrt {\alpha ^{2}-c^{2}\gamma ^{2}}}}\xi -r\right),\ r^{2}=y^{2}+z^{2}-{\frac {\eta ^{2}c^{2}}{\sqrt {\left(\alpha _{1}^{2}-c\gamma _{1}^{2}\right)}}}$

über.

Bestimmt nun der Punkt r=0 die Lage des Elektrons, so darf, da wir von der Vorstellung ausgegangen sind, daß das Elektron ruht und der Äther sich an ihm vorbeibewegt, r die Zeit nicht enthalten, d. h. $\eta$ muß von der Zeit unabhängig sein. Wenn wir das erreichen wollen, müssen wir in (3) $\gamma _{1}=\infty$ setzen. Aus (5) folgt aber $\beta _{1}=\gamma _{1}=\infty$, so daß wir die gewünschte Unabhängigkeit überhaupt nicht erreichen können. Vielmehr ist für $\gamma _{1}=\infty$

$\eta =\gamma _{1}(\varphi (t)+x),\ r^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {\eta ^{2}}{\gamma _{1}^{2}}}=y^{2}+z^{2}+(\varphi (t)+x)^{2}.$

Es ist daher r nicht unabhängig von der Zeit und der Punkt r=0 bewegt sich mit der Geschwindigkeit $d\varphi /dt$ in der Richtung -x, d. h. er ruht in bezug auf den Äther. Setzen wir dann noch $\xi =1$; also $\alpha =1,\ \gamma =0$, so haben wir das gewöhnliche Integral für einen ruhenden Punkt r=0. Unsere Transformation ergibt im allgemeinen kein Integral, das sich auf einen gegenüber dem Äther bewegten Punkt bezieht, sondern nur die Einsicht, daß wir in den Gleichungen (1) $v_{x}=0$ setzen und die Bewegung des Punktes r=0 dadurch einführen können, daß wir r von der Zeit in der Weise abhängen lassen, daß die vorgeschriebene Bewegung dargestellt wird.

Nur in dem speziellen Fall, daß $v_{x}$ konstant ist, führt die benutzte Transformation auch zur allgemeinen Integration. In diesem Fall ist nämlich $df/dt=0$ und die Beziehungen (5) fallen infolgedessen fort. Die Konstanten $\alpha$ können ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen gleich 1 gesetzt werden. Setzen wir in diesem Fall

(6)	${\begin{cases}\xi =t+{\frac {\beta }{\varkappa }}x\\&v_{x}=v,\ \varkappa ^{2}=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}},\\\eta =t+{\frac {\delta }{\varkappa }}x\end{cases}}$

so geht (4) über in

(7)

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi ^{2}}}\left(1-{\frac {2v\beta }{\varkappa }}-c^{2}\beta ^{2}\right)&+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \eta ^{2}}}\left(1-{\frac {2v\delta }{\varkappa }}-c^{2}\delta ^{2}\right)\\\\&+2{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi \ \partial \eta }}\left(1-{\frac {v}{\varkappa }}(\delta +\beta )-c^{2}\beta \delta \right)\\\\&=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right),\end{cases}}$

mit der einzigen Vorschrift, daß

(8)	$1-{\frac {v}{\varkappa }}(\delta +\beta )-c^{2}\beta \delta =0$

sein soll.

Hier ist das Integral

${\frac {1}{r}}F\left({\frac {c\xi }{\sqrt {1-{\frac {2v}{\varkappa }}-c^{2}\beta ^{2}}}}-r\right),$

wo

$r^{2}+y^{2}+z^{2}-{\frac {c^{2}\eta ^{2}}{1-{\frac {2v\delta }{\varkappa }}-c^{2}\delta ^{2}}}.$

Es ist dies die Lösung, die für $v=0$ und $\xi =t,\ \eta =x$ auch hier der bekannten Funktion eines strahlenden Punktes

${\frac {F(ct-r)}{r}}$

entspricht.

Unsere Lösung ist jedoch allgemeiner, als sie durch die Bewegung vorgeschrieben ist, weil eine der beiden Konstanten $\beta$ oder $\delta$ willkürlich ist.

Soll sich der Punkt $r=0$ gegenüber dem Medium mit der Geschwindigkeit v verschieben und ist das Koordinatensystem fest mit ihm verbunden, so darf r die Zeit nicht enthalten, dann muß $\delta =\infty$ sein. Jetzt läßt sich dieser Vorschrift genügen.

Aus (8) ergibt sich nämlich

$-{\frac {v}{\varkappa }}=c^{2}\beta ,$ r$^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {x^{2}}{\varkappa ^{2}}}$

und

$1-{\frac {2v\beta }{\varkappa }}-c^{2}\beta ^{2}={\frac {1}{\varkappa ^{2}}},$

so daß unsere Lösung

${\frac {1}{r}}F\left(c\varkappa t-{\frac {v}{c\varkappa }}x-r\right)$

wird. Wir können zu dieser Lösung aber nach unseren obigen Ergebnissen auch gelangen, wenn wir $v=0$ setzen, also von den Gleichungen für ruhende Körper ausgehen, dafür aber die Abhängigkeit von r von der Zeit so vorschreiben, daß der Wert $r=0$ mit einer Geschwindigkeit, die wir jetzt $v_{0}$ nennen wollen, sich im Raume verschiebt.

Wenn $v=0$ ist, so ist $\varkappa =1$.

Die Gleichung (8) ergibt

$1-c^{2}\beta \delta =0.$

Soll sich $r=0$ mit der Geschwindigkeit $v_{0}$ verschieben, so muß

$t+{\frac {\delta x}{\varkappa }}=t+\delta x=t-{\frac {x}{v_{0}}}$, d.h. $\delta =-{\frac {1}{v_{0}}}$

sein. Dann ist also

$\beta =-{\frac {v_{0}}{c^{2}}},$ $1-{\frac {2v\beta }{\varkappa }}-c^{2}\beta ^{2}=1-c^{2}\beta ^{2}=1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}=\varkappa _{0}^{2},$ $r^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}(v_{0}t-x)^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{\varkappa _{0}^{2}}}(v_{0}t-x)^{2}$

und die allgemeine Lösung

${\frac {1}{r}}F\left({\frac {ct}{\varkappa _{0}}}-{\frac {v_{0}}{\varkappa _{0}c}}x-r\right).$

Setzen wir nun $v_{0}t-x=-x'$, so bezieht sich x' auf ein mit dem Punkt $r=0$ fest verbundenes Koordinatensystem.

Dann haben wir

$r^{2}=y^{2}+z^{2}+{\frac {x'^{2}}{\varkappa _{0}^{2}}}$

und

${\frac {1}{r}}F\left({\frac {c}{\varkappa _{0}}}t-{\frac {v_{0}}{\varkappa _{0}c}}(v_{0}t+x')-r\right)$ $={\frac {1}{r}}F\left(c\varkappa _{0}t-{\frac {v_{0}}{\varkappa _{0}c}}x'-r\right).$

Die beiden Lösungen stimmen also überein und wir haben das bemerkenswerte Resultat, daß wir für unsere Lösung die Form der Gleichungen für bewegte Körper gar nicht brauchen, sondern von den Gleichungen für ruhende Körper ausgehen können.

2. Geschwindigkeit der Ausbreitung der Störungen.

Aus der Lösung

${\frac {1}{r}}F\left(c\varkappa t-{\frac {v}{c\varkappa }}x-r\right),$

für die wir auch setzen können

(9)	${\frac {1}{r}}F{\frac {1}{\varkappa }}\left(\varkappa ^{2}ct-{\frac {v}{c}}x-r\right),$

wo jetzt $r^{2}=x^{2}+\varkappa ^{2}(y^{2}+z^{2})$ ist, folgt, daß gleiche Phasen der im Punkte $r=0$ erregten Störungen mit der Geschwindigkeit

${\frac {x}{t}}={\frac {c\varkappa }{{\frac {v}{c\varkappa }}+{\frac {1}{\varkappa }}}}$

in der Richtung x laufen. Da diese Geschwindigkeit relativ zum Koordinatensystem ist, so muß in bezug auf einen ruhenden Punkt die Geschwindigkeit v addiert werden. Dann ergibt sich

$v+{\frac {x}{t}}={\frac {c\varkappa }{{\frac {v}{c\varkappa }}+{\frac {1}{\varkappa }}}}+v={\frac {c^{2}\varkappa ^{2}}{v+c}}+v={\frac {c^{2}\varkappa ^{2}+v^{2}+vc}{v+c}}=c.$

Die absolute Ausbreitungsgeschwindigkeit ist demnach konstant. Für die senkrecht zur Bewegungsrichtung sich ausbreitende Strahlung ist

${\frac {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}{t}}=c\varkappa$, oder in erster Näherung $=c\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right).$ Diese Ausbreitungsgeschwindigkeit ist ebenfalls relativ. Denken wir uns von dem leuchtenden Punkt einen Strahl ausgehend, der von einem der Bewegungsrichtung parallelen Spiegel zum Ausgangspunkt zurückreflektiert wird, so würde dieser Strahl dem betrachteten entsprechen. In Wirklichkeit hat sich aber der Ausgangspunkt während des Hin- und Rückganges verschoben und es kehrt nicht der genau senkrecht vom strahlenden Punkte ausgehende Strahl zurück, sondern einer, der mit diesem den Winkel bildet, dessen Kosinus $1/\varkappa$ ist. Ein solcher Strahl legt daher einen längeren Weg zurück, wodurch die scheinbare Verkleinerung der Geschwindigkeit erklärt ist.^[8]

3. Einfluß der Bewegung auf die Strahlung.

Das Integral der Gleichung (2), das wir gewonnen haben, erlaubt uns die Theorie der Strahlung, soweit sie für ein ruhendes Strahlungszentrum bekannt ist, für den Fall der Bewegung zu verallgemeinern. So läßt sich die von Hertz^[9] gegebene Theorie der elektromagnetischen Strahlung eines schwingenden Dipols streng für den Fall der Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ableiten. Zu den Grundlagen der Hertzschen Theorie gehört die Annahme, daß bei der Schwingung ein Alternieren der Ladungen des elektrischen Dipols stattfindet. Unter der Voraussetzung, daß die Amplitude eines einzelnen hin und her pendelnden Elektrons unendlich klein gegen die Wellenlänge der ausgesandten Wellen ist, kommt man zu denselben Ausdrücken, die Hertz für den schwingen den Dipol gefunden hat.^[10] Man hat also in dieser Theorie auch Beschleunigungen eines Elektrons. Ob aber die Voraussetzung, unter der die Wirkung der schwingenden Bewegung eines einzelnen Elektrons mit der der Schwingungen eines Dipols übereinstimmt, auch für den Fall gilt, daß die Schwingung sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, bedarf einer besonderen Untersuchung.

Wir betrachten die beiden Fälle, in denen das Elektron in derselben Richtung schwingt, in der die Bewegung stattfindet oder in einer dazu senkrechten.

Wir nennen $\xi _{x}$ die Verschiebung der Ladung e des Elektrons aus der Ruhelage und setzen

$\xi _{x}=a\ \cos \ n\ t,$ $v_{x}={\frac {d\xi _{x}}{dt}}=-a\ n\ \sin \ n\ t.$

Die Funktion $F(ct-r)/r$ ist in diesem Fall für eine ruhende Strahlungsquelle

${\frac {ae}{r}}\cos \ b(ct-r),\ bc=n,$ und für den Fall der Bewegung nach Gleichung (9)

${\frac {ea}{r}}\cos {\frac {b}{\varkappa }}\left(\varkappa ^{2}ct-{\frac {vx}{c}}-r\right),$ $\xi _{x}=a\ \cos \ b\varkappa ct,\qquad r^{2}=x^{2}+\varkappa ^{2}(y^{2}+z^{2}),$ $v_{x}=-ab\varkappa c\ \sin b\varkappa ct.$

Setzen wir die Translationsgeschwindigkeit gleich $v_{0}$, so kann man in der Gleichung für longitudinale Schwingung

${\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}+\left(v_{0}+v_{x}\right){\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial x}}=c\ \mathrm {rot} \ {\mathfrak {H}},$

und in den entsprechenden Gleichungen $v_{x}$ gegen $v_{0}$ vernachlässigen, wenn $ab\varkappa c$ klein gegen $v_{0}$ ist. Dies ist nun zwar immer zulässig, wenn a genügend klein ist. Für die Theorie der Strahlung ist aber ein anderer Umstand zu berücksichtigen. Wenn nämlich das Glied $v_{0}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{x}}{\partial x}}$ auf der linken Seite allein vorhanden ist, so ergibt sich keine Energiestrahlung, vielmehr nur zyklische Energieströmung. Wenn es sich also um Berechnung ausgestrahlter Energie handelt, so muß $v_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial x}}$ beibehalten werden, wenn es nicht gegen $\partial {\mathfrak {E}}/\partial t$ vernachlässigt werden kann. Dies ist nur der Fall, wenn

1 groß gegen $ba\left({\frac {v}{c}}{\frac {1}{\varkappa }}+{\frac {x}{r}}{\frac {1}{\varkappa }}\right)$ und ${\frac {ax}{r^{2}}}$

ist. Nähert sich $v_{0}$ der Lichtgeschwindigkeit, so nähert sich $\varkappa$ dem Werte Null. Die Vernachlässigung ist also nur erlaubt, wenn $ba/\varkappa$ klein bleibt, also b mit $\varkappa$ verschwindet.

Für longitudinale Schwingungen eines Elektrons, deren Erregungsstelle sich mit einer Geschwindigkeit bewegt, die der Lichtgeschwindigkeit nahe kommt, ist daher unsere Lösung nicht mehr gültig.

Die Schwingungszahl ist für die bewegte Strahlungsquelle

$n=b\varkappa c.$

Soll n konstant sein, so muß

${\frac {ba}{\varkappa }}={\frac {na}{c\varkappa ^{2}}}$ klein gegen 1

sein, wenn unsere Lösung gelten soll. Ist demnach n nicht zu groß, so kann man, da a sehr klein sein wird, sehr nahe an die Lichtgeschwindigkeit herangehen. Für die Lichtgeschwindigkeit selbst bleibt indessen die Lösung ungültig.

Ist die Schwingung transversal in der Richtung z, so muß

$v_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial z}}$ gegen ${\frac {\partial {\mathfrak {E}}}{\partial t}}$

vernachlässigt werden dürfen, d. h. es muß

1 groß gegen ${\frac {baz\varkappa }{r}}$ und ${\frac {a\varkappa ^{2}z}{r^{2}}}$

sein. Dies wird selbst dann zutreffen, wenn $b\varkappa$ endlich bleibt, also b für $v=c$ unendlich groß wird.

Unter dieser Voraussetzung gilt für transversale Schwingungen unsere Lösung auch, wenn die Lichtgeschwindigkeit erreicht wird.

Durch die Integration der Gleichung (2) ist indessen das Problem der Strahlung nicht erledigt, vielmehr müssen auch die Differentialgleichungen (1) durch die Werte der Vektoren ${\mathfrak {E}}$ und ${\mathfrak {H}}$ erfüllt werden.

Die Systeme dieser Werte sind verschieden, je nachdem man eine longitudinale oder transversale Schwingung betrachtet.

Für eine longitudinale Schwingung setzen wir

${\begin{array}{ll}{\mathfrak {E}}_{x}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}},&{\mathfrak {H}}_{x}=0,\\\\{\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial y}},&{\mathfrak {H}}_{y}=-{\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\ \partial t}}-v{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\ \partial x}}\right),\\\\{\mathfrak {E}}_{z}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial z}},&{\mathfrak {H}}_{z}={\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial t}}-v{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial x}}\right).\end{array}}$

Dann ist $\mathrm {div} \ {\mathfrak {E}}=0$ und $\mathrm {div} \ {\mathfrak {H}}=0$ identisch erfüllt und die Gleichungen (1) sind zum Teil identisch, zum Teil dann erfüllt, wenn die Funktion $\varphi$ der Gleichung (2) Genüge leistet.

Das letztere ist nach (9) der Fall, wenn wir

$\varphi ={\frac {A}{r}}\cos {\frac {b}{\varkappa }}\left(\varkappa ct-{\frac {vx}{c}}-v\right).$ $r^{2}=x^{2}+(y^{2}+z^{2})\varkappa ^{2},\ A=ae$

setzen. In der Nähe des Punktes $r=0$ ist

$\varphi ={\frac {A}{r}}\cos \ b\varkappa ct.$

Hier genügt $\varphi$ der Gleichung

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=-\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}},$

so daß

${\mathfrak {E}}_{x}=-\varkappa ^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right),$ ${\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right),$ ${\mathfrak {E}}_{z}=-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)$

ist. Für $v=0$ entspricht die Lösung der Hertzschen für einen in der Richtung x schwingenden Dipol, für $b=0$ entspricht sie der Heavisideschen Lösung einer bewegten Ladung mit dem Unterschied, daß anstatt $\varphi$ hier $\partial \varphi /\partial x$ auftritt. Durch Superposition der Wirkung zweier im Abstand dx voneinander befindlichen entgegengesetzt gleicher Ladungen muß in der Tat anstatt $\varphi$ die Größe $(\partial \varphi /\partial x)dx$ auftreten, so daß A das elektrische Moment des Dipols bezeichnet. Wir haben daher in unserer Lösung die Schwingungen eines longitudinal bewegten Dipols vor uns.

Von besonderem physikalischen Interesse ist nun nicht das Feld, das durch die Schwingung hervorgerufen wird, sondern die ausgestrahlte Energie. Diese erhält man am einfachsten, wenn man den Poyntingschen Vektor über eine in großer Entfernung befindliche geschlossene Fläche integriert. Als diese Fläche wählen wir am zweckmäßigsten ein Ellipsoid mit der Gleichung

${\frac {x^{2}}{\varkappa ^{2}}}+y^{2}+z^{2}={\frac {r^{2}}{\varkappa ^{2}}}$

mit der Vorschrift, daß r gegen alle anderen in Betracht kommenden Längen unendlich groß ist. Es ist dies ein Rotationsellipsoid, das in der Richtung der Bewegung um so mehr abgeplattet ist, je schneller die Bewegung erfolgt. Da nach der Voraussetzung r groß gegen $1/b$ ist, so braucht man nur nach den im Argument des Kosinus enthaltenen Variabeln zu differenzieren. Dann ergibt sich, wenn wir

${\frac {b}{\varkappa }}\left(\varkappa ^{2}ct-{\frac {rx}{c}}-r\right)=\alpha ,\ \varrho ^{2}=y^{2}+z^{2}$

setzen,

${\begin{array}{l}{\mathfrak {E}}_{x}=-{\frac {Ab^{2}\varrho ^{2}\varkappa ^{2}}{r^{3}}}\cos \ \alpha ,\\\\{\mathfrak {E}}_{y}={\frac {Avb^{2}}{c}}{\frac {y}{r^{2}}}\cos \alpha +{\frac {Ab^{2}}{c}}{\frac {xy}{r^{3}}}\cos \alpha ,\\\\{\mathfrak {E}}_{z}={\frac {Avb^{2}}{c}}z\cos \alpha +{\frac {Ab^{2}}{c}}{\frac {xz}{r^{3}}}\cos \alpha ,\end{array}}$ ${\mathfrak {H}}_{y}=-Ab^{2}{\frac {z}{r^{2}}}\left(1+{\frac {x}{r}}{\frac {v}{c}}\right)\cos \alpha ,$ ${\mathfrak {H}}_{z}=Ab^{2}{\frac {y}{r^{2}}}\left(1+{\frac {x}{r}}{\frac {v}{c}}\right)\cos \alpha .$

Ferner, wenn wir mit ${\mathfrak {S}}$ den Poyntingschen Vektor bezeichnen

${\begin{array}{l}{\mathfrak {S}}_{x}=-{\frac {A^{2}b^{4}\varrho ^{2}\cos ^{2}\alpha c}{r^{4}}}\left\{{\frac {x}{r}}{\frac {c^{2}+v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {v}{c}}\left(1+{\frac {x^{2}}{r^{2}}}\right)\right\},\\\\{\mathfrak {S}}_{y}=-{\frac {A^{2}b^{4}\varrho ^{2}\cos ^{2}\alpha y\varkappa ^{2}c}{r^{5}}}\left\{1+{\frac {x}{r}}{\frac {v}{c}}\right\},\\\\{\mathfrak {S}}_{z}=-{\frac {A^{2}b^{4}\varrho ^{2}\cos ^{2}\alpha z\varkappa ^{2}c}{r^{5}}}\left\{1+{\frac {x}{r}}{\frac {v}{c}}\right\}.\end{array}}$

Die mittlere ausgestrahlte Energie während einer Schwingung ist für die Zeiteinheit

$S={\frac {b\varkappa c}{2\pi }}{\overset {\frac {2\pi }{b\varkappa c}}{\underset {0}{\int }}}dt\int {\mathfrak {S}}\ d\omega ,$

da die Schwingungsdauer $2\pi /b\varkappa c$ ist.

Das Integral

$\int {\mathfrak {S}}\ d\omega =\int \ d\omega ({\mathfrak {S}}_{x}\cos \ N_{x}+{\mathfrak {S}}_{y}\cos \ N_{y}+{\mathfrak {S}}_{z}\cos \ N_{z})$

ist über die Fläche des Ellipsoids zu erstrecken.

Das Flächenelement des Ellipsoids ist

$d\omega =\varrho \ d\Theta \ ds,$

wo $\Theta$ den Umdrehungswinkel der Ellipse

${\frac {x}{\varkappa ^{2}}}+\varrho ^{2}={\frac {r^{2}}{\varkappa ^{2}}}$

um die x-Achse, und ds das Linienelement dieser Ellipse ist. Nun ist

$\cos \ N_{x}={\frac {d\varrho }{ds}},\ y=\varrho \ \sin \Theta ,$ $\cos \ N_{y}=-{\frac {dx}{ds}},\ z=\varrho \ \cos \Theta .$

Ferner

$\cos \ N_{y}=\cos \ N_{\varrho }\sin \Theta ,$ $\cos \ N_{z}=\cos \ N_{\varrho }\cos \Theta .$

Setzen wir auf der Oberfläche des Ellipsoids, wo $r={\text{const.}}$ ist

$\varrho ={\frac {r}{\varkappa }}\sin \ \vartheta ,\ d\varrho ={\frac {r}{\varkappa }}\cos \ \vartheta \ d\vartheta ,$ $x=r\cos \ \vartheta ,\ dx=-r\sin \ \vartheta \ d\vartheta .$

so ist

$\int {\mathfrak {S}}d\omega ={\overset {2\pi }{\underset {0}{\int }}}d\Theta {\overset {\pi }{\underset {0}{\int }}}d\vartheta \left\{{\frac {r^{2}}{\varkappa ^{2}}}\cos \vartheta \sin \vartheta {\mathfrak {S}}_{x}+{\frac {r^{2}}{\varkappa }}\sin ^{2}\vartheta \sin \Theta {\mathfrak {S}}_{y}+{\frac {r^{2}}{\varkappa }}\sin ^{2}\vartheta \cos \Theta {\mathfrak {S}}_{z}\right\}$

Hieraus ergibt sich

$S=-{\frac {\pi b^{4}A^{2}c}{15\varkappa ^{4}}}\left\{20-12{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right\}.$

Für $v=c$ wird also die ausgestrahlte Energie unendlich, wenn nicht b mindestens von der Ordnung $\varkappa$ unendlich klein wird.

Wir haben oben gesehen, daß für die Schwingungen eines Elektrons unsere Lösung nur gilt, wenn $b/\varkappa$ endlich bleibt. In diesem Fall bleibt daher die ausgestrahlte Energie endlich. Wir können daher keine Folgerung derart ziehen, daß die Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit, die ja bei einem bereits mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Elektron während der longitudinalen Schwingung erfolgen müßte, unmöglich wäre. Aber andererseits spricht auch nichts für diese Möglichkeit, denn da sowohl b als auch $\varkappa$ verschwinden sollen, so ist die Beschleunigung während der longitudinalen Schwingung unendlich klein von zweiter Ordnung.

Während die Lösung für eine longitudinale Schwingung für $b=0$, d. h. unendlich langsame Schwingungen der Heavisideschen Lösung für einen bewegten Dipol entspricht, ist dies bei der einfachsten Lösung einer transversalen Schwingung nicht der Fall. Das System, das die Heavisidesche Lösung ergeben würde, müßte nämlich lauten:

${\begin{array}{l}{\mathfrak {E}}_{x}=-\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial z}},\\\\{\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial z}},\\\\{\mathfrak {E}}_{z}=\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}.\end{array}}$

Denn dann hätten wir für $\varphi =\mathrm {const.} /r$, da dann die Gleichung

$\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}$

erfüllt ist:

${\mathfrak {E}}_{x}=-\varkappa ^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right),\ {\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right),\ {\mathfrak {E}}_{z}=-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right).$

Dies würde einem Dipol entsprechen, dessen Achse in der z-Achse liegt, während die Bewegung in der x-Achse erfolgt.

Wenn aber $\varphi$ von der Zeit abhängt, so lassen sich mit diesem System die allgemeinen Maxwellschen Gleichungen (1) nicht ohne Zusatzglieder erfüllen.

Dieses leistet dagegen das folgende System:

${\begin{array}{l}{\mathfrak {E}}_{x}=-\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial z}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial z}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial z}},\\\\{\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial z}},\\\\{\mathfrak {E}}_{z}=\varkappa ^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}},\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\mathfrak {H}}_{x}=-{\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial t}}-v{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial x}}\right),\\\\{\mathfrak {H}}_{y}={\frac {1}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\ \partial t}}-v{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right),\\\\{\mathfrak {H}}_{z}=0.\end{array}}$

$\varphi$ hat der Gleichung (2) zu genügen. Dann sind die Gleichungen (1) erfüllt. Wir nehmen wieder

$\varphi ={\frac {A}{r}}\cos \ {\frac {b}{\varkappa }}\left(\varkappa ^{2}ct-x{\frac {v}{c}}-r\right).$ Gegenüber dem ersten System haben wir hier noch ein zweites elektrisches Feld mit den Komponenten

${\begin{aligned}{\mathfrak {E}}_{x}&=-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right),\\{\mathfrak {E}}_{z}&={\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right),\\{\mathfrak {E}}_{y}&=0.\end{aligned}}$

Diese Kraftlinien sind sämtlich parallel der xz-Ebene. Sie werden durch die Gleichungen

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\text{const.}}$

dargestellt.

In der Nähe von $r=0$ ist

$\varphi ={\frac {A}{r}}\cos \ b\varkappa ct.$

Die Gleichung $\partial \varphi /\partial x={\text{const.}}$ ist dort für $t={\text{const.}}$

${\frac {x}{\left({\sqrt {x^{2}+\varkappa ^{2}\varrho ^{2}}}\right)^{3}}}={\text{const.}}=C,$

also

$x^{2}=C^{2}(x^{2}+\varkappa ^{2}\varrho ^{2})^{3}.$

Die Linien gehen also sämtlich durch den Punkt $r=0$.

Da die Gleichung nur $x^{2}$ und $\varrho ^{2}$ enthält, so folgt, daß die Linien symmetrisch sowohl zur x-Achse wie zur z-Achse sind.

Schreiben wir die Gleichung

${\sqrt {\frac {x^{\frac {2}{3}}-C^{\frac {2}{3}}x^{2}}{x^{2}C^{\frac {2}{3}}}}}=\varrho ,$

so folgt zunächst, daß für $x=0$ auch $\varrho =0$ ist. Für einen anderen Wert von $\varrho$ kann x nicht verschwinden.

Außerdem ist

${\frac {d\varrho }{dx}}={\frac {{\frac {1}{3}}x^{-{\frac {1}{3}}}-C^{\frac {2}{3}}x}{\varkappa {\sqrt {C^{3}}}{\sqrt {x^{\frac {2}{3}}-C^{\frac {2}{3}}x^{2}}}}}.$ Für $x=0$ wird demnach $d\varrho /dx=\infty$. Im Punkte $r=0$ geht also die Linie senkrecht durch die x-Achse. Die $\varrho$-Achse wird demnach überhaupt nicht, die z-Achse im Punkte $\varrho =0$ und im Punkte $x=1/{\sqrt {C}}$ geschnitten und zwar, wie schon aus der Symmetrie folgt, senkrecht. In der Tat ist auch für $x=1/{\sqrt {C}}$ der Wert von $d\varrho /dx$ unendlich. $d\varrho /dx$ verschwindet für $x=1/{\sqrt[{4}]{27\ C^{2}}}$. Dies ist also der große^{[WS 1]} Wert von $\varrho$.

Für große C bleiben die Linien in der Nähe des Nullpunktes und entfernen sich mit abnehmendem C.

Wir haben es also mit einem System zyklischer elektrischer Kraftlinien zu tun, die nicht an den Ladungen des Dipols endigen.

Nehmen wir $\varphi$ unabhängig von der Zeit an, so erhalten wir eine neue Lösung für die transversale Bewegung eines Dipols, nämlich das System

${\begin{array}{lll}{\mathfrak {E}}_{x}=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right),&&{\mathfrak {H}}_{x}={\frac {v}{c}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\ \partial x}},\\\\{\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right),&&{\mathfrak {H}}_{y}=-{\frac {v}{c}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}},\\\\{\mathfrak {E}}_{z}=-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)&+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}},&{\mathfrak {H}}_{z}=0,\end{array}}$

während nach Heaviside das System

${\begin{array}{ll}{\mathfrak {E}}_{x}=-\varkappa ^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right),&{\mathfrak {H}}_{x}=0,\\\\{\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right),&{\mathfrak {H}}_{y}={\frac {v}{c}}{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right),\\\\{\mathfrak {E}}_{z}=-{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right),&{\mathfrak {H}}_{z}=-{\frac {v}{c}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\end{array}}$

gilt.

Die Eindeutigkeit der Lösung wird dadurch gewahrt, daß die Superposition eines transversal bewegten elektrischen Dipols und eines dazu senkrecht stehenden magnetischen Dipols, dessen Moment proportional $v/c\varkappa ^{2}$ ist, die erste Lösung gibt, wenn man für jeden das Heavisidesche System einsetzt. Wir müssen daher auch bei unserer transversalen Schwingung das Mitwirken eines magnetischen Dipols annehmen. Auf die kompliziertere Lösung, bei der kein Magnet mitwirkt, gedenke ich in einer besonderen Untersuchung einzugehen. Für unsere Lösung, im Fall eine Schwingung des Dipols vorhanden ist, erhalten wir

${\begin{array}{l}{\mathfrak {E}}_{x}=Ab^{2}\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right){\frac {z\ \cos \ \alpha }{r^{2}}},\\\\{\mathfrak {E}}_{y}={\frac {Ab^{2}\varkappa ^{2}yz\ \cos \alpha }{r^{3}}},\\\\{\mathfrak {E}}_{z}=-{\frac {Ab^{2}}{r\varkappa ^{2}}}\left(\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)^{2}+{\frac {y^{2}\varkappa ^{4}}{r^{2}}}\right),\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\mathfrak {H}}_{x}=-{\frac {Ab^{2}y\ \cos \ \alpha }{r^{2}}}\left\{1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right\},\\\\{\mathfrak {H}}_{y}={\frac {Ab^{2}\cos \ \alpha }{r^{2}\varkappa ^{2}}}\left\{{\frac {x^{2}}{r^{2}}}{\frac {v}{c}}+{\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\right\},\end{array}}$

und

${\begin{array}{l}{\mathfrak {S}}_{x}=-{\frac {A^{2}\cos ^{2}\alpha c}{r^{2}\varkappa ^{2}}}\left\{\left({\frac {\varkappa ^{4}y^{2}}{r^{2}}}+\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)^{2}\right)\left(1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right)\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)\right\},\\\\{\mathfrak {S}}_{y}=-{\frac {A^{2}\cos ^{2}\alpha yc}{r^{3}\varkappa ^{2}}}\left\{\left(1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right)\left({\frac {\varkappa ^{4}y^{2}}{r^{2}}}+\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)^{2}\right)\right\},\\\\{\mathfrak {S}}_{z}=-{\frac {A^{2}\cos ^{2}\alpha zc}{r^{3}\varkappa ^{2}}}\left\{\left(1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right)\left({\frac {\varkappa ^{4}y^{2}}{r^{2}}}+\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)^{2}\right)\right\},\end{array}}$

woraus

$S=-{\frac {\pi b^{4}A^{2}c}{15\varkappa ^{6}}}\left(20+56{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-12{\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)$

folgt.

Hier wird die Ausstrahlung selbst dann unendlich, wenn $b/\varkappa$ endlich bleibt.

Obwohl nun nach der Erledigung des Problems für den Fall einer Schwingung unter den gemachten Voraussetzungen auch alle anderen hierher gehörenden Fälle durch Zerlegung nach Fourierschen Reihen behandelt werden können, gebe ich doch einen anderen Wert der Funktion F, bei dem kein periodischer Vorgang eintritt. Ich setze

$\varphi ={\frac {A}{r}}\operatorname {arctg} \ \varepsilon \left(\varkappa ^{2}ct-{\frac {vx}{c}}-r\right).$

Die Betrachtungen, die wir für die Schwingung angestellt haben, lassen sich ohne weiteres auf diesen Fall übertragen.

Anstatt des periodischen Hin- und Hergehens haben wir hier nur einen einmaligen Wechsel von einem negativen zu einem positiven Wert. Ist $\varepsilon$ sehr groß, so geht der Wechsel des arctg von $-\pi /2$ bis $+\pi /2$ in der Nähe des Nullwertes des Argumentes vor sich und verläuft für größere positive oder negative Werte asymptotisch. Ist die Größe von $\varepsilon$ an dieselben Bedingungen geknüpft, wie die von $b/\varkappa$, so können wir bei genügend kleiner Amplitude den Vorgang als einen einmaligen transversalen oder longitudinalen Impuls auffassen.

Nehmen wir dieselben Systeme für die ${\mathfrak {E}}$ und ${\mathfrak {H}}$ wie bei der Schwingung und nehmen r als unendlich groß an, so ergibt sich, wenn wir

$\varepsilon \left(\varkappa ^{2}ct-{\frac {v}{c}}x-r\right)=\varepsilon \beta$

setzen, für den longitudinalen Impuls

${\begin{array}{l}{\mathfrak {S}}_{x}=-{\frac {4\varepsilon ^{6}\beta ^{2}\varkappa ^{4}c\varrho ^{2}A^{2}}{r^{4}(1+\varepsilon ^{2}\beta ^{2})^{4}}}\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)\left(1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right),\\\\{\mathfrak {S}}_{y}=-{\frac {4\varepsilon ^{6}\beta ^{2}\varkappa ^{4}c\varrho ^{2}A^{2}}{r^{4}(1+\varepsilon ^{2}\beta ^{2})^{4}}}\cdot {\frac {\varkappa ^{2}y}{r}}\left(1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right),\\\\{\mathfrak {S}}_{z}=-{\frac {4\varepsilon ^{6}\beta ^{2}\varkappa ^{4}c\varrho ^{2}A^{2}}{r^{4}(1+\varepsilon ^{2}\beta ^{2})^{4}}}\cdot {\frac {\varkappa ^{2}z}{r}}\left(1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right).\end{array}}$

Bilden wir nun

$S={\overset {\infty }{\underset {-\infty }{\int }}}dt\int \ {\mathfrak {S}}\ d\omega ,$

so ergibt sich:

$S=-{\frac {2\pi ^{2}A^{2}\varepsilon ^{3}}{15\varkappa ^{2}}}\left(5-{\frac {3v^{2}}{c^{2}}}\right).$

Für den transversalen Impuls erhalten wir

${\begin{array}{l}{\mathfrak {S}}_{x}=-{\frac {4\varepsilon ^{6}\beta ^{2}cA^{2}}{r^{2}(1+\varepsilon ^{2}\beta ^{2})^{4}}}\left\{{\frac {\varkappa ^{4}y^{2}}{r^{2}}}+\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)^{2}\right\}\left\{1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right\}\left\{{\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right\},\\\\{\mathfrak {S}}_{y}=-{\frac {4\varepsilon ^{6}\beta ^{2}c\varkappa ^{2}yA^{2}}{r^{3}(1+\varepsilon ^{2}\beta ^{2})^{4}}}\left\{1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right\}\left\{{\frac {\varkappa ^{4}y^{2}}{r^{2}}}+\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)^{2}\right\},\\\\{\mathfrak {S}}_{z}=-{\frac {4\varepsilon ^{6}\beta ^{2}c\varkappa ^{2}zA^{2}}{r^{3}(1+\varepsilon ^{2}\beta ^{2})^{4}}}\left\{1+{\frac {v}{c}}{\frac {x}{r}}\right\}\left\{{\frac {\varkappa ^{4}y^{2}}{r^{2}}}+\left({\frac {v}{c}}+{\frac {x}{r}}\right)^{2}\right\}\end{array}}$

und

$S=-{\frac {2\pi ^{2}A^{2}\varepsilon ^{3}}{15\varkappa ^{4}}}\left\{5+14{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {3v^{4}}{c^{4}}}\right\}.$

Hier wird S sowohl für den longitudinalen wie für den transversalen Impuls für $v=c$ unendlich, solange $\varepsilon$ endlich bleibt.

Bei der Beurteilung dieses Ergebnisses für die Frage der Möglichkeit der Überlichtgeschwindigkeit muß berücksichtigt werden, daß wir die Strahlung über eine unendliche Zeit integriert haben. Für die Gültigkeit der Lösung genügt es, daß $\varepsilon a$ sehr klein ist. Die Strahlung, die ausgegeben wird, um bei Lichtgeschwindigkeit noch eine sehr kleine Strecke a während sehr langer Zeit mehr zurückzulegen, als die Lichtgeschwindigkeit selbst zurücklegt, wird daher unendlich sein. Daraus würde hervorgehen, daß bei Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit unendliche Arbeitsleistung verbraucht würde.

Die große Ausstrahlung bei transversaler Bewegung des Elektrons würde zeigen, daß in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit ein Elektron sich nicht mehr würde ablenken lassen.

Die durch transversale Bewegung eines Elektrons allein hervorgerufene Strahlung gewinnen wir erst durch Benutzung der allgemeineren Lösung, bei der die Mitwirkung eines Magneten fortfällt. Ich gedenke dann auch auf die Vergleichung unserer Ergebnisse mit denen von Abraham^[11] näher einzugehen.

Obwohl nun die gewonnene Integration weit entfernt ist, eine vollständige Theorie des bewegten Elektrons zu ermöglichen, scheint sie mir einen großen Teil der wichtigeren Fragen beantworten zu können. Mit einer Integration für beliebige veränderliche Geschwindigkeiten ist insofern wenig gewonnen, als dann die augenblicklichen Vorgänge immer noch von allen vorausgegangenen Geschwindigkeiten abhängen. Das eigentliche Interesse wird sich daher zunächst vorzugsweise auf die Frage beschränken, was eintritt, wenn ein mit konstanter Geschwindigkeit bewegtes Elektron kleine Änderungen seines Weges erfährt.

Würzburg, Physikalisches Institut, November 1903.

(Eingegangen 30. November 1903.)

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1. H. A. Lorentz, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern‎. Leiden 1895.
2. H. Hertz, Wied. Ann. 41. p. 369. 1890.
3. A. A. Michelson u. E. W. Morley, Amer. Journ. of Science (3) 31. p. 377. 1886.
4. E. Cohn, Ann. d. Phys. 7. p. 29. 1902.
5. H. A. Lorentz, Théorie électrique de Maxwell et son application aux corps mouvants p. 119. Leiden 1892. Der erste Beweis dieses Satzes ist von Lorenz gegeben: Pogg. Ann. 131. p. 243 — 263. 1867.
6. M. Abraham, Ann. d. Phys. 10. p. 105. 1903.
7. H. Poincaré, Festschrift für H. A. Lorentz, p. 252. Leiden 1900.
8. Vgl. H. A. Lorentz, Versuch einer Theorie etc. p. 121.
9. H. Hertz, Wied. Ann. 86. p. 1. 1889.
10. Vgl. H. A. Lorentz, l. c. p. 54.
11. M. Abraham, l. c

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: größe