| §. 46. Fortsetzung. — Construction der Richtung der Determinante für einen unendlich kleinen Strom.
Es sei
die Fläche des unendlich kleinen Stromes,
die positive Normale derselben; ferner seien
die Richtungscosinus dieser Normale; ferner mögen die relativen Coordinaten des betrachteten Punctes
in Bezug auf den Strom
bezeichnet sein mit
so dass also
(25.)
|
|
endlich sei
die Determinante von
in Bezug auf jenen Punct.
In diesem Fall reducirt sich die Formel (16.) auf:
(26.)
|
|
wo
, nach (19.), den Werth hat:
![{\displaystyle \Sigma _{\lambda _{1}}=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial x_{1}}}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y_{1}}}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z_{1}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e2a9e15b11fdba04aa9f00e747f833612e42ae)
also mit Rücksicht auf (25.) auch so dargestellt werden kann:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\Sigma _{\lambda _{1}}&=\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\alpha _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \xi }}+\beta _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \eta }}+\gamma _{1}{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \zeta }}\right),\\\\&=-\lambda _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\frac {\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta }{r^{3}}}\right),\\\\&=-\lambda _{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{r^{3}}}-{\frac {3\left(\alpha _{1}\xi +\beta _{1}\eta +\gamma _{1}\zeta \right)}{r^{4}}}{\frac {\xi }{r}}\right).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86eff368efaa0ad38dfa0d0f46d48da6f7845ba6)
Somit folgt aus (26.) sofort:
(27.)
|
|
Diese Formeln führen in Betreff der Determinante
oder
zu folgender Construction:
Man theile die von dem unendlich kleinen Strom
| nach dem gegebenen Punct
gehende Linie
in drei gleiche Theile, und lege durch den
zunächst liegenden Theilpunct
eine gegen
perpendiculäre Ebene. Bezeichnet
denjenigen Punct, in welchem diese Ebene von der positiven Normale
des Stromes getroffen wird, so wird jene Determinante
die Richtung
(oder vielleicht auch die entgegengesetzte Richtung
) besitzen[1].
![](//upload.wikimedia.org/wikisource/de/thumb/b/bd/Neumann_Fig_14.jpg/400px-Neumann_Fig_14.jpg)
Fig. 14.
Beweis.— Die Coordinaten des gegebenen Punctes
sind [vergl. (25.)]:
![{\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta ,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adab043d05c9ff48fe3c978d9547b18968735445)
folglich die Coordinaten des genannten Theilpunctes
:
![{\displaystyle {\frac {1}{3}}\xi ,\ {\frac {1}{3}}\eta ,\ {\frac {1}{3}}\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee200d6f0a936974d4066a4443df838806ee714)
Zur Bestimmung der Coordinaten
des Punctes
ergeben sich daher die Gleichungen:
(a.)
|
|
(b.)
|
|
wo
einen unbekannten Factor vorstellt.
Die Gleichung (a.) kann auch so geschrieben werden:
(c.)
|
|
| oder mit Rücksicht auf (b.) auch so:
(d.)
|
|
Substituirt man den hieraus für
sich ergebenden Werth in die erste der Formeln (b.), so folgt:
(e.)
|
|
oder falls man
auf beiden Seiten subtrahirt:
(f.)
|
|
Hieraus aber folgt mit Rückblick auf (27.) sofort:
(g.)
|
|
w. z. z. w.
- ↑ Die Linie
ist in der Figur nicht gezeichnet.