Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§43

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Achter Abschnitt.

Die Theorie der unendlich kleinen Ströme und der sogenannten Solenoide.

Bei diesen Expositionen wird durchweg vorausgesetzt werden, dass die Entfernungen beträchtliche sind, so dass also die im Ampère’schen Gesetz (pag. 44) enthaltene Function $\psi$ gleich ${\sqrt {r}}$ gesetzt werden kann.

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§. 43. Präliminarien. — Die Kegelöffnung und die reducirte Kegelöffnung.

In einer Ebene ${\mathsf {E}}$ befinde sich ein geschlossener elektrischer Strom $J$. Durch diesen zerfällt ${\mathsf {E}}$ in zwei Theile:

${\mathsf {E}}=\Lambda +\Omega ,$

nämlich in einen innern Theil $\Lambda$, die sogenannte Stromfläche, und in einen unendlich grossen äusseren Theil $\Omega$. — In irgend einem Puncte der Stromfläche $\Lambda$ mag diejenige Normale $n$ errichtet sein, welche positiv ist zur Richtung $J$ (pag. 82); und gleichzeitig mag diejenige Seite der Fläche $\Lambda$, auf weicher $n$ liegt, die positive Seite von $\Lambda$ genannt werden.

Bezeichnet $p$ irgend einen Punct des Raumes, und ${\mathsf {K}}$ die Oeffnung des von $p$ nach $J$ gelegten Kegelmantels (d. i. denjenigen Theil einer mit dem Radius Eins um $p$ beschriebenen Kugelfläche, welcher innerhalb des Kegelmantels liegt), so wird offenbar diese Oeffnung ${\mathsf {K}}$ ihren grössten Werth 2$\pi$ annehmen, wenn $p$ in die Fläche $\Lambda$ fällt, und ihren kleinsten Werth 0, sobald $p$ in die Fläche $\Omega$ zu liegen kommt.

Mit Bezug auf die später anzustellenden Erörterungen erscheint es zweckmässig, der Kegelöffnung ${\mathsf {K}}$ einen gewissen Factor $\epsilon$ beizugesellen, welcher = + 1 oder = − 1 ist, jenachdem die Kegelspitze $p$ auf der positiven oder negativen Seite von $\Lambda$ liegt. Dieser Factor $\epsilon$ mag der Situationsfactor, und das so entstehende Product $\epsilon {\mathsf {K}}$ die reducirte Kegelöffnung genannt werden.

Lässt man $p$ auf beliebigem Wege fortschreiten, so ändert, sich die reducirte Kegelöffnung $\epsilon {\mathsf {K}}$ im Allgemeinen in stetiger Weise; jedoch tritt eine Unstetigkeit ein (nämlich ein Ueberspringen vom Werthe $-2\pi$ zum Werthe $+2\pi$, oder umgekehrt), sobald $p$ durch die Fläche $\Lambda$ hindurchgeht

Fig. 13.

Um insbesondere den Fall eines unendlich kleinen geschlossenen Stromes näher ins Auge zu fassen, bedienen wir uns folgender Bezeichnungen:

$\lambda$ die unendlich kleine Stromfläche;

$\xi ,\eta ,\zeta$ irgend ein Punct innerhalb $\lambda$;

$\alpha ,\beta ,\gamma$ die Richtungscosinus derjenigen auf $\lambda$ im Puncte $\xi ,\eta ,\zeta$ errichteten Normale $\nu$, welche zur Stromrichtung positiv liegt^[1];

$x,y,z$ die Coordinaten der Kegelspitze;

$\varkappa$ die Oeffnung des Kegels;

$\epsilon \varkappa$ die reducirte Kegelöffhung;

$r={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}};$

$\varphi$ der Winkel zwischen der Normale $\nu (\alpha ,\beta ,\gamma )$ und der Richtung $(x-\xi ,\ y-\eta ,\ z-\zeta )$.

Alsdann ergiebt sich sofort:

(1.)	$\varkappa =(\pm 1){\frac {\lambda \cos \varphi }{r^{2}}}.$

Die Grösse $\varkappa$ ist (ebenso wie auch $\lambda$) ihrer Bedeutung nach stets positiv; und der Factor $(\pm 1)$ ist daher so zu wählen, dass die rechte Seite der Formel positiv wird, also der Bedingung zu unterwerfen:

$(\pm 1)\cos \varphi =\mathrm {pos} .$

Mit andern Worten: Jener Factor ist $=+1$ oder $=-1$, jenachdem der Winkel $\varphi$ spitz oder stumpf, d. i. jenachdem die Kegelspitze $x,y,z$ auf der positiven oder negativen Seite von $\lambda$ liegt. Hieraus aber folgt, dass jener Factor identisch ist mit dem vorhin definirten Situationsfactor $\epsilon$. — Somit geht die Formel (1.) über in

(2.)	$\varkappa =\epsilon {\frac {\lambda \cos \varphi }{r^{2}}};$

woraus durch Multiplication mit $\epsilon$ sich ergiebt:

(3.)	$\epsilon \varkappa ={\frac {\lambda \cos \varphi }{r^{2}}}.$

Hiefür kann geschrieben werden:

(4.)

${\begin{array}{ll}\epsilon \varkappa &={\frac {\lambda }{r^{2}}}\left({\frac {x-\xi }{r}}\alpha +{\frac {y-\eta }{r}}\beta +{\frac {z-\zeta }{r}}\gamma \right),\\\\&=\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \xi }}\alpha +{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \eta }}\beta +{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \zeta }}\gamma \right).\end{array}}$

Beachtet man endlich, dass die Richtung $\alpha ,\beta ,\gamma$ mit $\nu$ benannt worden ist, dass also $\alpha ={\frac {\partial \xi }{\partial \nu }},\ \beta ={\frac {\partial \eta }{\partial \nu }},\ \gamma ={\frac {\partial \zeta }{\partial \nu }},$ so nimmt die Formel folgende Gestalt an:

(5.)	$\epsilon \varkappa =\lambda {\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \nu }};$

in Worten ausgedrückt: Die reducirte Kegelöffnung ist gleich der Stromfläche, multiplicirt mit der Ableitung von ${\tfrac {1}{r}}$ nach der positiven Normale der Stromfläche.

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1. In der beistehenden Figur, denke man sich den Punct $\xi ,\eta ,\zeta$ hart am Rande der Fläche $\lambda$, jedoch innerhalb derselben gelegen. Die Normale $\nu$ wird alsdann diejenige sein, welche ein im Strome Liegender und nach diesem innern Punct $\xi ,\eta ,\zeta$ Hinsehender markirt mit ausgestreckter Linken (vergl. pag. 82).