Beitrag zur nichteuklidischen Interpretation der Relativtheorie

Beitrag zur nichteuklidischen Interpretation der Relativtheorie.

Auszug aus der im „Rad“ Bd. 202 (1914), S. 177, veröffentlichten Abhandlung.

Von Dr. V. Varićak.

Von der Relation

${\frac {v}{c}}=\mathrm {th} \,u$

ausgehend, repräsentieren wir den in der Zeiteinheit zurückgelegten Weg

${\frac {\sigma }{c}}=\mathrm {sh} \,u$

durch den zur Sehne $u$ zugehörigen Grenzkreisbogen.

Das Verhältnis der Größen $v$, $u$ und $\sigma$ zueinander ist in der Figur 1 dargestellt.

Fig. 1.

Es wird hier versucht, die letztere auf den ersten Blick etwas befremdliche Festsetzung auf eine von Robb am Schlusse seiner Abhandlung „Optical geometry of motion“ durchgeführte Überlegung zu stützen. Daß aber jene hier eingeführte Annahme wohl zweckentsprechend ist, wird durch die Behandlung einiger Probleme der Optik erwiesen. Aus den Diagrammen, die man als Figuren der Lobatschefskijschen Ebene zu betrachten hat, werden durch einfache phoronomische Betrachtungen die relativistischen Formeln für das Dopplersche Prinzip, für die Aberration und die Reflexion des Lichtes am bewegten Spiegel abgeleitet.

Sei $MM'=u$ (Fig. 2) die Geschwindigkeit des Beobachters, $AM=u'$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Wellenbewegung, welche in der Zeiteinheit den Weg $AN$ zurücklegt. Der Beobachter

Fig. 2.

entferne sich von der Schwingungsquelle $I$; seine Geschwindigkeit hat man also negativ zu nehmen. Die Schwingungszahl $\nu$ wird um die Anzahl der Wellenlängen, die in dem Wege $\sigma$ des Beobachters enthalten sind, vermindert. Da man bei der Addition der Wege die zugehörigen Sehnen zu addieren hat, findet man

${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {\mathrm {sh} \,(u'-u)}{\mathrm {sh} \,u'}}$

welche Formel für $u'=\infty$, d. h. wenn $I$ eine Lichtquelle ist, in

${\frac {\nu '}{\nu }}=e^{-u}$

übergeht, was man aber auf Grund der oben an erster Stelle gegebenen Relation leicht auf die Form

Fig. 3.

$\nu '=\nu {\frac {\sqrt {1-{\frac {v}{c}}}}{\sqrt {1+{\frac {v}{c}}}}}$

bringen kann.

Schließt die Verbindungslinie Lichtquelle-Beobachter mit der Geschwindigkeit des Beobachters den Winkel $\varphi$ ein (Fig. 3), so sind von dem Dreiecke $AMM'$ die Stücke$AM=u'$, $M=\pi -\varphi$, $MM'=u$ gegeben, und man hat den Winkel $\varphi '$ zu bestimmen. Zwischen diesen vier Stücken des Dreiecks besteht die Relation

$\coth u'\,\mathrm {sh} \,u=\mathrm {ch} \,u\cos(\pi -\varphi )+\sin(\pi -\varphi )\mathrm {cotg} \varphi '$,

aus der man für $u'=\infty$

$\mathrm {tg} \,\varphi '={\frac {\sin \varphi }{\mathrm {sh} \,u+\,\mathrm {ch} \,u\cos \varphi }}$

erhält, was aber auch in der Form

$\cos \varphi '={\frac {{\frac {v}{c}}+\cos \varphi }{1+{\frac {v}{c}}\cos \varphi }}$

geschrieben werden kann.

Fig. 4.

Nehmen wir noch den Fall der Reflexion am bewegten Spiegel. In der Figur 4 haben wir die Konstruktion der reflektierten Wellenfront auf Grund des Huyghensschen Prinzips. Die Geschwindigkeit der Wellenbewegung ist durch $BA'=u'$, die Geschwindigkeit des Spiegels durch $LA'=u$ dargestellt, und es besteht zwischen denselben die Beziehung

${\frac {\mathrm {sh} \,u}{\mathrm {sh} \,u'}}={\frac {v}{c}}$

Aus den kongruenten Dreiecken $ABA'$ und $AA'B'$ erhält man

$\alpha ={\frac {\varphi '-\varphi }{2}},\ \psi ={\frac {\varphi +\varphi '}{2}}$

Es ist weiter

${\begin{aligned}\mathrm {sh} \,BA'=&\mathrm {sh} \,AA'\sin \psi \\\mathrm {sh} \,LA'=&\mathrm {sh} \,AA'\sin \alpha \end{aligned}}$

und so wird

${\frac {\mathrm {sh} \,u}{\mathrm {sh} \,u'}}={\frac {\sin \psi }{\sin \alpha }}={\frac {\sin {\frac {\varphi +\varphi '}{2}}}{\sin {\frac {\varphi '-\varphi }{2}}}}$

Hieraus erhält man die Formeln

${\frac {\mathrm {sh} \,u}{\mathrm {sh} \,u'}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\varphi }{2}}+\mathrm {tg} {\frac {\varphi '}{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\varphi '}{2}}-\mathrm {tg} {\frac {\varphi }{2}}}}$

und

$\mathrm {tg} {\frac {\varphi '}{2}}=-e^{u}\mathrm {tg} {\frac {\varphi }{2}}$

Aus der letzteren Formel kann dann leicht

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi \left(1+\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)-2{\frac {v}{c}}}{1-2{\frac {v}{c}}\cos \varphi +\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}$

gefolgert werden.