Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften/Die Algebra

Anfangs-Gründe

der

Algebra.

Die 1. Erklärung.

1.

Die Algebra ist eine Wissenschaft, aus einigen gegebenen endlichen Grössen andere ihres gleichen, von denen in Ansehung der gegebenen etwas bekannt gemacht wird, vermittelst gewisser Gleichungen zu finden.

Anmerkung.

2. Z. E. ihr sollet zwey Zahlen finden, die mit einander multipliciret eine gegebene Zahl 60, hingegen zusammen addiret eine andere gegebene Zahl 17 bringen. Also werden euch gegeben zwey Zahlen, und ihr sollet aus denselben zwey andere Zahlen finden, von welchen euch bekannt gemacht wird, daß ihre Summe der kleineren, ihr Product aber der grösseren von den gegebenen Zahlen gleich seyn soll. Die Algebra nun lehret euch nicht allein in gegenwärtigem Falle die verlangten Zahlen, sondern auch eine allgemeine Regel finden, nach welcher ihr alle Exempel von dieser Art rechnen könnet.

Die 2. Erklärung.

3. Die Buchstaben-Rechenkunst wird diejenige genennet, welche an statt der Ziffern allgemeine Zeichen der Grössen brauchet, und damit die gewöhnlichen Rechnungs-Arten verrichtet.

Die 3. Erklärung.

4. Eine Grösse nennen wir alles dasjenige, was sich vermehren und vermindern läßt, in so weit es sich vermehren und vermindern läßt.

Der 1. willkührliche Satz.

5. Man benenne die gegebenen Grössen jederzeit mit den ersten Buchstaben des Alphabets, a, b, c, d, u. s. w. die unbekannten aber, welche man suchet, mit den letzten x, y, z.

Der 2. willkührliche Satz.

6. Das Zeichen der Addition ist +, der Subtraction aber —. Jenes wird durch mehr, dieses durch weniger ausgesprochen.

Anmerkung.

7. Z. E. die Summe zweyer Grössen a und b wird geschrieben a + b, und ausgesprochen: a mehr b. Hingegen die Differenz zweyer Grössen wird geschrieben durch a — b, und ausgesprochen: a weniger b. Als, es bedeute a 7 Thaler, b 8 Groschen, so bedeutet a + b 7 Thl. + 8 gl. das ist, 7 Thl. 8. gr. hingegen a — b 7 Thl. — 8 gl. das ist, 7 Thl. weniger 8 gl.

Der 3. willkührliche Satz.

8. Die Multiplication hat entweder gar kein Zeichen, sondern man setzet die Buchstaben, welche einander multipliciren, ohne einiges Zeichen neben einander: oder man deutet sie durch ein Comma (,) oder einen Punct (.) an. Insgemein brauchet man dieses Zeichen $\times$.

Anmerkung.

9. Wenn a durch b multipliciret werden soll, so schreibet das Product ab, oder a.b, oder a$\times$b. Wir werden uns des letztern Zeichens niemals bedienen.

Der 4. willkührliche Satz.

10. Wenn eine Grösse viele andere auf einmal multipliciret, so schliesset man sie in eine parenthesin ( ) ein, und setzet jene ohne einiges Zeichen vor oder hinter die parenthesin: oder man setzet zwischen dieselben ein blosses Comma.

Anmerkung.

11. Das Product von a + b - c in d schreibet entweder also: (a + b - c) d, oder dergestalt: d (a + b - c), oder auch folgender massen: a + b - c, d. Insgemein schreibet man dieses Product also ${\overline {a+b-c}}\times d$, oder auch $d\times {\overline {a+b-c}}$.

Der 5. willkührliche Satz.

12. Das Zeichen der Division sind zwey Puncte (:), oder man schreibet die Buchstaben, welche einander dividiren sollen, wie in der Rechenkunst einen Bruch.

Anmerkung.

13. Wenn a durch b dividiret werden soll; so schreibet man den Quotienten entweder a : b, oder ${\tfrac {a}{b}}$, und spricht beides aus: a durch b dividiret.

Der 6. willkührliche Satz.

14. Wenn eine Grösse viele andere auf einmal dividiret, oder viele andere Eine dividiren; so werden, wie in der Multiplication, die vielen in eine parenthesin ( ) eingeschlossen, oder man kan auch an deren statt ein blosses Comma brauchen.

Anmerkung.

15. Wenn a + b durch c dividiret werden soll, so schreibet den Quotienten entweder (a + b) : c, oder a + b,: c. Sollet ihr a durch b + c dividiren, so ist der Quotient a : (b + c) oder a :, b + c. Wiederum wenn ihr a + b durch c + d dividiret, so schreibet den Quotienten (a + b) : (c + d) oder a + b ,: c + d. Nach der gemeinen Art schreibet ihr diese Quotienten ${\frac {a+b}{c}}\quad {\frac {a}{b+c}}\quad {\frac {a+b}{c+d}}$ oder auch ${\underline {a+b}}:c$.   $a:{\underline {b+c}}$,   ${\underline {a+b}}:{\underline {c+d}}$.

Die 1. Aufgabe.

16. Einerley Grösse mit einerley und verschiedenen Zeichen zu addiren.

Auflösung.

1. Wenn sie einerley Zeichen haben, so zählet sie wie in der Rechenkunst zusammen.

2. Sind aber die Zeichen verschieden, so ziehet von der grösseren die kleinere ab, und setzet zu dem, was überbleibet, das Zeichen der grösseren.

Exempel

${\begin{matrix}a&+&2b&-&3c&-&5d\\3a&-&2b&+&6c&+&2d\end{matrix}} \over {\begin{matrix}4a&&&&&+&3c&-&3d\end{matrix}}$

Beweis.

Weil die Buchstaben undeterminirte Zahlen sind, so könnet ihr einen jeden als Eins ansehen, und demnach die Größen, welche durch einerley Buchstaben benennet werden, als Dinge von gleicher Art zusammenzählen (§. 4. Arithm.). Alle Grössen, welche mit dem Zeichen – bemerket werden, fehlen, und hingegegen, die das Zeichen + haben, sind vorhanden. Wenn ich derowegen von beider Art addiren soll, so wird durch die letzteren der Mangel aufgehoben, und muß freylich die Addition in eine Subtraction verkehret werden. W. Z. E.

Die 1. Anmerkung.

17. Die Grössen, welche mit dem Zeichen – bemerket werden, hat man nicht anders als Schulden anzusehen; und hingegen die andern mit dem Zeichen + als baares Geld. Und daher nennet man auch die ersten weniger als nichts, weil man erst so viel weggeben muß, als man schuldig ist, ehe man nichts hat.

Die 2. Anmerkung.

18. Damit euch die Rechnung mit Buchstaben deutlicher wird so bildet euch ein, a bedeute 1 thl. b 1 gr. c 1 pf.

${\begin{matrix}7a&-&9b&+&5c\qquad \qquad 7{\text{ thl.}}&-&9{\text{ gl.}}&+&5{\text{ pf.}}\\3a&+&5b&-&9c\qquad \qquad 3{\text{ thl.}}&+&5{\text{ gl.}}&-&9{\text{ pf.}}\\\hline 10a&-&4b&-&4c\qquad \qquad 10{\text{ thl.}}&-&4{\text{ gl.}}&-&4{\text{ pf.}}\\\end{matrix}}$

Die 2. Aufgabe.

19. Einerley Grössen mit einerley oder verschiedenen Zeichen von einander zu subtrahiren.

Auflösung.

1. Wenn einerley Zeichen sind, und ihr sollet die kleinere von der grösseren abziehen; so verrichtet die Subtraction, wie in Ziffern (§. 43. Arithm.).

2. Sollet ihr aber die grössere von der kleineren abziehen; so ziehet die kleinere von der grösseren ab, und zu den übrigen setzt das Zeichen –, wenn die Grössen + haben; hingegen +, wenn sie – haben. 3. Wenn die Zeichen verschieden sind, so addiret die Grössen, die ihr von einander abziehen sollet, und zu der Summe setzet das Zeichen derjenigen Grösse, von welcher die Subtraction geschehen solte.

Exempel.

${\begin{matrix}8a&-&5c&+&9d\qquad \qquad 8{\text{ thl.}}&-&5{\text{ gl.}}&+&9{\text{ pf.}}\\6a&-&8c&-&7d\qquad \qquad 6{\text{ thl.}}&-&8{\text{ gl.}}&-&7{\text{ pf.}}\\\hline 2a&+&3c&+&\!\!16d\qquad \qquad \!2{\text{ thl.}}&+&3{\text{ gl.}}&+&16{\text{ pf.}}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}9b&+&15c&-&7d&+&8e&-&f\\6b&+&20c&-&9d&-&9e&+&7f\\\hline 3b&-&5c&+&2d&+&17e&-&8f.\end{matrix}}$

Beweis.

Weil ihr jeden Buchstaben als Eins ansehen könnet; so könnet ihr auch wie in Zahlen die Subtraction verrichten. Allein wenn ihr die grössere von der kleineren abziehet, und sie haben das Zeichen +, als 20 c von 15 c; so nehmet ihr 20 c weg, müsset aber von oben die 15 c addiren, und dannenhero fehlen nur noch so viel c, als der Unterscheid zwischen 20 und 15 ist, nemlich 5. Hingegen wenn das Zeichen – ist, als wenn ihr –9 d von –7 d abziehen sollet; so müsset ihr 9 d addiren, weil ihr zu viel abgezogen. Denn ihr solltet 20 c – 9 d wegnehmen; ihr habet aber 20 c ganz weggenommen. Da nun oben 7 d fehlen; so heben sich von den 9 d, die ihr dazu addiret, 7 auf, und bleiben nur noch 2 d übrig. Darum dürfet ihr in diesen Fällen nur allezeit die kleinere von der grösseren abziehen, und zu dem übrigen das widrige Zeichen setzen, nemlich –, wenn ihr + habet, und +, wenn – ist. Endlich wenn die Zeichen verschieden sind, und ihr sollet z. E. –9 e von +8 e abziehen; so so wisset ihr auch aus dem Vorhergehenden, daß die unteren 9 e addiret werden müssen, weil ihr zu viel in dem Vorhergehenden abgezogen. Und demnach bekommet ihr +17 e. Hingegen wenn ihr z. E. +7 f von –f subtrahiren sollet, so fehlet euch zusammen 8 f. Daher habet ihr in beiden Fällen nur nöthig, die Grössen zu addiren, und zu der Summe das Zeichen zu setzen, welches die Grösse hat, davon die Subtraction geschiehet. W. Z. E.

Die 3. Aufgabe.

20. Grössen mit einerley und verschiedenen Zeichen durch einander zu multipliciren.

Auflösung.

Verrichtet die Multiplication, wie in Zahlen (§. 49. Arithm.); nur merket, daß einerley Zeichen im Product +, verschiedene aber – geben.

Exempel.

${{\qquad \;{\begin{matrix}&&&\;a&\;\,+&\;b&\;\;-&\;d\\&&&\;a&\;\,-&\;b&\;\;-&\;d\end{matrix}}} \over {\begin{matrix}&&-&ad&-&bb&+&dd\\&-&ab&-&bb&+&bd\\aa&+&ab&-&ad\end{matrix}}} \over {{\begin{matrix}aa&-&bb&-&2ad&+&dd\end{matrix}}\quad \;\;}$                ${{\qquad {\begin{matrix}&&10&=&8&\;+&\;4&-&2\\&&2&=&8&\;-&\;4&-&2\end{matrix}}} \over {\begin{matrix}&&&-&16&-&8&+&4\\&-&32&-&16&+&8\\64&+&32&-&16\end{matrix}}} \over {{\begin{matrix}20&=&68&-&48&=&20.\end{matrix}}\qquad \;}$

Beweis.

Wenn ihr + durch + multipliciret, so ist klar, daß das Product auch + haben muß. Ingleichen ist nicht schwer zu begreifen, daß in dem Producte das Zeichen – seyn muß, wenn ihr + durch – multipliciret, weil ihr einen Mangel oder eine Schuld etliche mal nehmt. Allein wenn – durch – multipliciret wird, scheinet es nicht gleich klar zu seyn, warum in dem Producte + ist. Merket demnach, daß, wenn ihr 3 – 2 durch –2 multipliciren sollet, ihr den Defect –2 so vielmal nehmen sollet, als 3 – 2 Einheiten hat; das ist 1mal. Da ihr nun anfangs 3 mit –2 multipliciret, so nehmet ihr den Defect 3mal, und demnach 2mal zu viel. Derowegen müsset ihr ihn noch 2mal dazu wieder addiren. Und also giebet –2 mit –2 zum Producte +4. W. Z. E.

Zusatz.

21. Wenn ihr –a mit +b multipliciret, so kommet –ab heraus. Derowegen wenn ihr –ab durch +b dividiret, muß –a herauskommen. Dividiret ihr aber –ab durch –a, so muß +b herauskommen. Demnach ist klar, daß auch in der Division die Regel gilt: Einerley Zeichen geben im Quotienten +, verschiedene aber –.

Die 4. Aufgabe.

22. Grössen mit einerley und verschiedenen Zeichen durch einander zu dividiren.

Auflösung.

Wenn eine gegebene Grösse durch die andere sich würklich dividiren lässet; so verfahret wie in Zahlen (§. 51. Arithm.), nur daß ihr die Regel von Veränderung der Zeichen wohl in Acht nehmet (§. 21.).

Kan aber die Division nicht würklich geschehen; so bleibet es bey dem, was oben (§. 12. et seqq.) gesaget worden.

Exempel.

	aa - bb - 2ad + dd (a + b - d
a - b - d)	aa - ab - ad
—————————————————————
+	ab - bb - ad + dd
a - b - d) +	ab - bb - bd
—————————————————————
+	bd - ad + dd
a - b - d) -	ad + bd + dd
—————————————————————
0

Anmerkung.

23. Weil die Buchstaben nicht wie die Zahlen eine Bedeutung von der Stelle haben, in welcher sie stehen; so dürfet ihr euch an keine Ordnung binden, sondern möget den Quotienten suchen, in welchem Gliede ihr ihn findet: welches auch in dem Subtrahiren des Products aus dem Divisore in den Quotienten stattfindet.

Die 4. Erklärung.

24. Wenn man eine Grösse durch sich selbst multipliciret; so heisset das Product, welches herauskommet, die andere Potenz oder Dignität^{[WS 1]} derselben Grösse. Multilpiciret ihr die andere Dignität noch einmal durch die erste; so kommet die dritte Potenz oder Dignität heraus. Multipliciret ihr ferner die dritte durch die erste; so kommet die vierte Potenz oder Dignität heraus. Multipliciret ihr die vierte durch die erste; so kommet die fünfte Potenz oder Dignität heraus, u. s. w. Die erste Stammgrösse, so die erste Dignität genennet wird, heisset auch die Wurzel in Ansehung der anderen, dritten, vierten, fünften etc. Dignität.

Der 7. willkührliche Satz.

25. Den Grad der Potenz oder Dignität einer Grösse deutet durch eine kleine Ziffer, oder, wenn er nicht determiniret ist, durch einen kleinen Buchstaben an, den ihr oben zur Rechten an denjenigen Buchstaben setzet, wodurch die Grösse benennet wird. Z. E. die andere, dritte, vierte etc. Dignität von $x$ ist $x^{2},x^{3},x^{4}$, etc. $x^{m}$. Diese Zahlen werden die Exponenten der Dignität genennet.

Der 1. Zusatz.

26. Dannenhero wenn ihr eine Dignität durch eine andere von eben der Wurzel multipliciren sollet; so dürfet ihr nur ihre Exponenten zusammen addiren.

Exempel.^{[WS 2]}

${\begin{matrix}x^{3}&y^{m}\;&x^{m}\;&x^{n}\\x^{4}&y^{n}\;&x^{r}\;&x^{n}\\\hline x^{7}&y^{m+n}&x^{m+r}&x^{2n}\end{matrix}}$

Der 2. Zusatz.

27. Hingegen wenn ihr die Dignität einer Grösse durch eine andere Dignität derselben dividiren sollet; so dürfet ihr nur ihre Exponenten von einander subtrahiren.

Exempel.

${\begin{matrix}x^{7}&y^{7}&y^{m+n}&x^{m}\\x^{4}&y^{3}&y^{n}&x^{n}\\\hline x^{3}&y^{4}&y^{m}&x^{m-n}\end{matrix}}$

Der 3. Zusatz.

28. Endlich wenn ihr die Dignität einer Grösse zu einer andern Dignität erheben sollet; so dürfet ihr nur ihren Exponenten durch den Exponenten der andern multipliciren. Z. E. ihr sollet $x^{3}$ zu der vierten Dignität erheben: so multipliciret 3 durch 4, und nehmet $x^{12}$ für die gesuchte Dignität an.

Anmerkung.

29. Die Ursache ist leicht zu erraten. Denn ihr sollet den Exponenten 3 viermal zu sich selbst addiren (§. 27.). Dieses aber geschiehet, wenn ihr ihn durch 4 multipliciret (§. 13. Arithm.).

Der 4. Zusatz.

Folgends wenn ihr aus einer gegebenen Dignität eine verlangte Wurzel ziehen sollet, das ist, diejenige Grösse finden, welche zu einer gewissen Dignität erhoben worden (§. 74. 75. Arithm. & §. 25. Algebr.); so dürfet ihr nur ihren Exponenten durch den Exponenten der Wurzel dividiren. Z. E. die Wurzel der vierten Dignität aus $x^{12}$ ist $x^{3}$; die Wurzel $m$ aus $x^{n}$ ist $x^{n:m}$.

Anmerkung.

31. Merket wohl diese Art die Wurzeln zu zeichnen; denn ihr werdet ins künftige grossen Vortheil davon haben.

Der 8. willkührliche Satz.

32. Wenn ihr die Wurzel aus einer gegebenen Grösse ziehen sollet, dergleichen sie nicht hat; so setzet folgendes Wurzelzeichen vor sie, und über dasselbige den gehörigen Exponenten der Wurzel: in der Quadratwurzel aber könnet ihr den Exponenten weglassen. Also schreibet ihr die Cubicwurzel von $x$, ${\sqrt[{3}]{x}}$;^{[WS 3]} hingegen die Wurzel der fünften Dignität von $x$ schreibet ihr ${\sqrt[{5}]{x}}$.

Zusatz.

33. Weil ${\sqrt {x}}=x^{1:2}$, ${\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{2:3}$, ${\sqrt[{m}]{x^{n}}}=x^{n:m}$ (§. 30.); so könnet ihr jederzeit eine Formul in die Stelle der andern setzen, nachdem ihr von dieser oder jener einen Vortheil haben könnet.

Die 5. Erklärung.

34. Dergleichen Grössen, daraus die verlangte Wurzel nicht genau gezogen werden kan, werden Irrational-Grössen, oder wenn es Zahlen sind, Irrational-Zahlen genennet.

Dergleichen sind ${\sqrt {2}},{\sqrt[{3}]{4}},{\sqrt[{5}]{6}}$.

Die 5. Aufgabe.

35. Eine Aufgabe algebraisch aufzulösen.

Auflösung.

1. Unterscheidet mit Fleiß die bekannten Grössen von den unbekannten, und benennet jene mit den ersten, diese mit den letzten Buchstaben des Alphabets (§. 5.). Wenn die Benennung geschehen; so

2. suchet eine Gleichung, daß ihr nemlich eine Sache mit zweyerley Namen beleget; denn so müssen die beiden Werthe gleich seyn (§. 20 Arithm.). Ihr müsset aber so viel Gleichungen finden, als ihr unbekannte Grössen habet. Wenn es nicht angehet; so ist es ein Zeichen, daß ihr die eine unbekannte Grösse so groß annehmen könnet, als ihr wollet. Und pfleget man dergleichen Aufgaben undeterminirte Aufgaben zu nennen. Es sind aber die Gleichungen entweder in der Aufgabe selbst angedeutet, oder ihr müsset sie aus ihren Umständen durch Hülfe derjenigen Lehrsätze suchen, welche von der Gleichheit handeln.

3. Wenn in den Gleichungen bekannte und unbekannte Grössen mit einander vermenget sind; so müsset ihr sie dergestalt einrichten, daß auf einer Seite lauter bekannte, auf der andern aber nur Eine unbekannte stehen bleibet: welches geschiehet, wenn ihr die Grössen, welche subtrahiret sind, durch Addiren; welche addiret sind, durch Subtrahiren; welche andere multipliciren, durch Dividiren; welche andere dividiren, durch Multipliciren wegbringet, oder auch die Wurzeln zu ihren Dignitäten erhebet, oder aus den Dignitäten die gehörigen Wurzeln ausziehet: damit ihr immer eine Gleichheit erhaltet (§. 24. 25. 26. 27. Arithm.).

Die 6. Aufgabe.

36. Aus der gegebenen Summe zweyer Grössen und ihrem Unterscheide die Grössen selber zu finden.

Auflösung.

Es sey die Summe $=a$, die kleinere Grösse $=x$, der Unterscheid $=b$, die grössere Grösse $=y$.

So ist

$\,x+y$	$=\,$	$a\,$	(§. 9. Arithm.)	$\,y-x$	$=\,$	$b\,$	(§. 12. Arithm.)
$x\,$	$=\,$	$x\,$	subtr.	$x\,$	$=\,$	$x\,$	add.
————————				————————
$\,y$	$=\,$	$a-x\,$		$\,y$	$=\,$	$b+x\,$

demnach

$\,a-x$	$=\,$	$b+x\,$	(§. 12. Arithm.)
$x\,$		$x\,$	add.
—————————
$a\,$	$=\,$	$b+2x\,$
$b\,$		$b\,$	subtr.
—————————
$a-b\,$	$=\,$	$2x\,$
– – – – – – – – – – –			2 div.
${\tfrac {a-b}{2}}$	$=\,$	$x\,$

Folgends ist die grössere $y={\tfrac {1}{2}}a-{\tfrac {1}{2}}b+b={\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{2}}b.$

Regel.

Ziehet den Unterscheid der beiden Grössen ($b$) von der Summe ($a$) ab. Den Rest dividiret durch zwey; so ist der Quotient die kleine Grösse ($x$). Addiret den Unterscheid zu der Summa; so ist die Hälfte davon die grosse Grösse ($y$).

Z. E. es sey $a=30,b=8$; so ist $(a-b):2=(30-8):2=22:2=11$, und $(a+b):2=(30+8):2=38:2=19$.

Anmerkung.

37. Ihr könnet jederzeit aus der letzten Gleichung eine Regel machen, dadurch die Aufgabe in allen vorkommenden Fällen aufgelöset werden kan, wenn ihr für die Buchstaben die Namen der Sache setzet, die sie bedeuten, und an satt der Zeichen die Rechnungsarten benennet, die sie andeuten. Allein der Kürze halber werde ich ins künftige keine Regel hersetzen, wenn es nicht besondere Umstände erfordern. Und dieses thue ich um so viel lieber, weil man die Exempel in Zahlen viel hurtiger auflösen kan, wenn man die Ziffern in die Stelle der Buchstaben setzet, als wenn man nach der Regel verfähret. Auch ist zu merken, daß öfters in denen Gleichungen, da noch bekanntes und unbekanntes mit einander vermenget ist, nützliche Lehrsätze enthalten sind. Z. E. aus der Gleichung $a-b=2x$ erhellet folgender Lehrsatz.

Wenn man von der Summe zweyer Grössen ihren Unterscheid abziehet; so ist der Rest zweymal so groß als die kleinere.

Die 7. Aufgabe.

38. Eine Zahl zu finden, deren Hälfte ${\tfrac {1}{3}}$ und ${\tfrac {1}{4}}$ zusammen um 1 grösser sind, als die Zahl selbst.

Auflösung.

Es sey die gesuchte Zahl $=x$; so ist

${\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{3}}x+{\tfrac {1}{4}}x=x+1$

das ist $(12x+8x+6x):24={\tfrac {26}{24}}x=x+1$ (§. 65. Arithm.)

mult. 24:

$26x=24x+24$

$24x=24x$    subtr.

  $2x=24$

– – – – – – 2 div.

   $x=12$

Probe:

${\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{3}}x+{\tfrac {1}{4}}x=6+4+3=13.$

Es ist demnach nicht mehr als die einige Zahl 12, welche diese Eigenschaft hat.

Die 8. Aufgabe.

39. Aus der gegebenen Summe zweyer Zahlen, und dem Product einer Zahl in die andere, die Zahlen selbst zu finden.

Auflösung.

Es sey die Summe $=a$, die halbe Differenz $=x$, das Product $=b$;

so ist die	grosse Zahl	${\tfrac {1}{2}}a+x$	${\Biggr )}$ §. 36.
	die kleine	${\tfrac {1}{2}}a-x$

Und also

${\tfrac {1}{4}}aa-xx$	$=\,$	$b\,$
$xx\,$	$=\,$	$xx\,$ add.
————————————
${\tfrac {1}{4}}aa$	$=\,$	$b+xx\,$
$b\,$	$=\,$	$b\,$ subtr.
————————————
${\tfrac {1}{4}}aa-b$	$=\,$	$xx\,$
————————————
${\sqrt {{\tfrac {1}{4}}aa-b}}$	$=\,$	$x\,$.

Es sey $a=14,\ b=48$; so ist ${\sqrt {{\tfrac {1}{4}}aa-b}}={\sqrt {49-48}}=1$, folgends die grosse Zahl ${\tfrac {1}{2}}a+x=7+1=8$, und die kleine ${\tfrac {1}{2}}a-x=7-1=6$.

Die 9. Aufgabe.

40. Aus einer gegebenen Summe zweyer Grössen und der Differenz ihrer Quadrate die beiden Grössen zu finden.

Auflösung.

Es sey die Summe $=a$, die halbe Differenz der Grössen $=y$, die Differenz der Quadrate $=b$.

So ist die eine Grösse	${\tfrac {1}{2}}a+y$
Die andere	${\tfrac {1}{2}}a-y$
Das Quadrat der ersten	${\tfrac {1}{4}}aa+ay+yy$
Das Quadrat der andern	${\tfrac {1}{4}}aa-ay+yy$
——————————————————————

Die Differenz	$b=2ay\,$
	– – – – – – 2a
folgends	$b:2a=y\,$.

Es sey $b=40,\ a=10$; so ist $y=40:20=2$; folgends die eine Zahl ${\tfrac {1}{2}}a+y=5+2=7$, die andere ${\tfrac {1}{2}}a-y=5-2=3$.

Die 10. Aufgabe.

41. Aus der gegebenen Summe zweyer Grössen und der Summe ihrer Quadrate die beiden Grössen zu finden.

Auflösung.

Es sey die erste	Summe	$=a$, die eine Grösse	${\tfrac {1}{2}}a+y$
	die andere	$=b$, die andere	${\tfrac {1}{2}}a-y$.

So ist das Quadrat der ersten	${\tfrac {1}{4}}aa+ay+yy$
der andern	${\tfrac {1}{4}}aa-ay+yy$
———————————————————

Die Summe	$b\,$	$=\,$	${\tfrac {1}{2}}aa+2yy$
folgends	$b-{\tfrac {1}{2}}aa$	$=\,$	$2yy\,$
	${\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {1}{4}}aa$	$=\,$	$yy\,$
	${\sqrt {{\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {1}{4}}aa}}$	$=\,$	$y\,$.

Es sey $a=10,\ b=58$; so ist ${\sqrt {{\tfrac {1}{2}}b-{\tfrac {1}{4}}aa}}={\sqrt {29-25}}={\sqrt {4}}=2$; folgends ${\tfrac {1}{2}}a+y=5+2=7$ und ${\tfrac {1}{2}}a-y=5-2=3$.

Die 11. Aufgabe.

42. Aus der gegebenen Tagesreise zweyer Boten, und der Zeit, da der andere dem ersten nachgehet, die Zeit zu finden, in welcher er ihn einholet.

Auflösung.

Es sey die Tagereise des ersten $=a$, des andern $=b$, die gesuchte Zeit $=x$, die gegebene Zeit $=c$.

So ist die Reise des ersten in der gegebenen Zeit $=ac$, in der gesuchten $=ax$. Diese Reise des anderen in der letzteren Zeit $=bx$. Da nun beide einen gleichen Weg zurücke geleget; so ist

$ac+ax\,$	$=\,$	$bx\,$
$ax\,$	$=\,$	$ax\,$ subtr.
———————————————
$ac\,$	$=\,$	$bx-ax=(b-a)x\,$
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – b-a div.
$ac:(b-a)\,$	$=\,$	$x\,$

Es sey $a=6,\ b=8,\ c=4$; so ist $x=24:(8-6)={\tfrac {24}{2}}=12.$

Die 12. Aufgabe.

43. Aus der gegebenen Tagereise eines Boten und der Zeit, da er hinweg ist, die Tagereise eines anderen Boten zu bestimmen, der ihn in einer gegebenen Zeit einholen soll.

Auflösung.

Es sey die Tagereise des ersten $=a$, des andern $=x$, die verflossene Zeit $=b$, die gegebene Zeit $=c$

so findet man wie in der vorhergehenen Aufgabe

$ab+ac=cx\,$

${\frac {ab}{c}}+a=x,$

Es sey $a=6,\ b=4,\ c=12$; so ist $x={\tfrac {24}{12}}+6=2+6=8$.

Die 13. Aufgabe.

44. Aus der gegebenen Weite zweyer Oerter von einander, aus welchen zu gleicher Zeit zwey Boten ausreisen, und der Tagereise eines jeden, die Zeit zu bestimmen, da sie einander begegnen.

Auflösung.

Es sey die Weite $=a$, die gesuchte Zeit $=x$, die Tagereise des ersten $=b$, des andern $=c$.

So ist der Weg des ersten in der zu bestimmenden Zeit $=bx$, des andern $=cx$; folgends, weil beide zusammen die ganze Weite der Oerter von einander durchreisen,

	$bx+cx=a\,$
das ist	$(b+c)x=a\,$
	——————————
	$x=a:(b+c)\,$

Es sey $a=120,\ b=6,\ c=4$; so ist $x=120:(6+4)=120:10=12\,$. Sie begegnen also einander in dem zwölften Tage.

Die 14. Aufgabe.

45. Aus dem gegebenen Werthe einer Kanne guten Weines zu bestimmen, wie viel man Wasser darunter mischen muß, damit man das Maaß um einen verlangten geringern Preis geben kan.

Auflösung.

Der höhere Preis sey $=a$, das Wasser $=x$, der geringere $=b$, das Kannenmaaß $=1$.

Da nun der Preis von $1=b$, so ist der Preis von $1+x=b+bx$ (§. 85. Arithm.), und daher, weil das Wasser $x$ nichts gilt,

$b+bx\,$	$=\,$	$a\,$ (§. 20. Arithm.)
———————————
$bx\,$	$=\,$	$a-b\,$
———————————
$x\,$	$=\,$	$(a-b):b.\,$

Es sey $a=16,b=10$; so ist $x=(16-10):10={\tfrac {6}{10}}={\tfrac {3}{5}}$.

Die 15. Aufgabe.

46. Aus dem gegebenen Preise zweyer Weine von verschiedener Güte zu bestimmen, wie viel man von dem geringeren zu dem besseren giessen muß, damit man ihn für einen verlangten Preis geben kan.

Auflösung.

Es sey der Preis des guten	$=a$	die Grösse des schlechten	$=x$
des schlechten	$=b$	so ist sein Preis	$=bx$
des vermischten	$=c$	die Grösse des guten	$=1-x$
das Kannenmaaß	$=1$	sein Preis	$=a-ax.$

Folgends^{[WS 4]}

$a-ax+bx\,$	$=\,$	$c\,$
$ax\,$	$=\,$	$ax\,$
————————————————————————
$a+bx\,$	$=\,$	$ax+c\,$
$bx\,$	$=\,$	$bx\,$
————————————————————————
$a\,$	$=\,$	$ax-bx+c\,$
$c\,$	$=\,$	$c\,$
————————————————————————
$a-c\,$	$=\,$	$ax-bx=(a-b)x\,$
————————————————————————
$(a-c):(a-b)\,$	$=\,$	$x.\,$

Es sey $a=16,\ b=10,\ c=12$; so ist $x=(16-12):(16-10)=4:6={\tfrac {2}{3}}$. Demnach werden von dem schlechten ${\tfrac {2}{3}}$ und von dem guten ${\tfrac {1}{3}}$ genommen.

Die 6. Erklärung.

47. Wenn die Wurzel einer Dignität oder Potenz aus zwey Theilen bestehet; nennet man sie eine binomische Wurzel, als $a+b$. Bestehtet sie aus drey Theilen, als $a+b+c$; so heisset die eine trinomische Wurzel. Wenn sie aus vier Theilen bestehet, eine quadrinomische Wurzel u. s. w. Ueberhaupt aber nennet man sie eine polynomische Wurzel, wenn sie aus mehr als zwey Theilen bestehet.

Die 16. Aufgabe.

48. Die Natur des Quadrats oder der andern Dignität einer binomischen Wurzel zu finden.

Auflösung.

Ihr verlanget zu wissen, wie das Quadrat einer binomischen Wurzel entstehen kan (§. 4. Method. Mathem.). Multipliciret demnach die binomische Wurzel $a+b$ durch sich selbst; so wird das Product zeigen, aus was für Theilen das Quadrat zusammengesetzet wird, und wie diese Theile des Quadrats aus den Theilen der Wurzel entstehen.

	a	+	b
	a	+	b
———————
	+	ab	+	b2
a2	+	ab
———————
a2	+	2ab	+	b2	Quadrat der binomischen Wurzel.

Lehrsatz.

Das Quadrat einer binomischen Wurzel begreifet in sich die Quadrate der beiden Theile ($a^{2}$ und $b^{2}$), und ein Product ($2ab$) aus dem einen Theile zweymal genommen ($2a$) in den andern ($b$).

Die 7. Erklärung.

49. Eine unreine quadratische Gleichung (Aequatio quadratica affecta) wird genennet, in welcher $x^{2}\mp ax=\pm b^{2}.$

Die 17. Aufgabe.

50. Eine unreine quadratische Gleichung aufzulösen.

Auflösung.

Weil $x^{2}\cdot ax=b^{2},$ so nehmet ihr $x$ für den einen Theil einer binomischen Wurzel an. Alsdenn wird $a$, die bekannte Grösse des andern Gliedes, der andere Theil der Wurzel zweymal genommen, und also ${\tfrac {1}{2}}a$ der andere Theil der Wurzel seyn: folgends fehlet zu einem vollkommenen Quadrate das Quadrat von ${\tfrac {1}{2}}a$, nemlich ${\tfrac {1}{4}}aa.$ Wenn ihr nun solches beiderseits addiret; so lässet sich die Quadratwurzel ausziehen, und die gegebene Gleichung völlig einrichten.

$x^{2}.\,ax$	$=\,$	$.\,b^{2}$
${\tfrac {1}{4}}a^{2}$	$=\,$	${\tfrac {1}{4}}a^{2}$
————————————————————
$x^{2}.\,ax\,.\,{\tfrac {1}{4}}a^{2}$	$=\,$	${\tfrac {1}{4}}a^{2}.\,b^{2}$
————————————————————
$x.{\tfrac {1}{2}}a$	$=\,$	${\sqrt {{\tfrac {1}{4}}a^{2}.\,b^{2}}}$
————————————————————
$x\,$	$=\,$	${\tfrac {1}{4}}a\,.\,{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}a^{2}.\,b^{2}}}$

Anmerkung.

51. Ich habe anstatt der Zeichen + und – nur einen Punct gesetzet, damit es nicht nöthig wäre, viele Fälle von einander zu unterscheiden. Den Nutzen dieser Regel werdet ihr ins künftige überflüßig sehen. Jetzt vergnüget mich, dieselbe durch folgende Aufgabe zu erläutern.

Die 18. Aufgabe.

52. Aus dem gegebenen Producte zweyer Grössen und ihrer Differenz die Grössen selber zu finden.

Auflösung.

Es sey das Product $=a$, die erste Größe $=x$, die Differenz $=b$, die andere $=y$.

So ist

$a\,$	$=\,$	$xy\,$	$b\,$	$=\,$	$x-y\,$
————————			————————
$a:y\,$	$=\,$	$x\,$	$b+y\,$	$=\,$	$x.\,$

Folgends^{[WS 5]}

$a:y\,$	$=\,$	$b+y\,$
------------------------------------- y
$a\,$	$=\,$	$by+y^{2}\,$
${\tfrac {1}{4}}b^{2}$	$=\,$	${\tfrac {1}{4}}b^{2}\quad$      (§. 50.)
————————————
$a+{\tfrac {1}{4}}b^{2}$	$=\,$	${\tfrac {1}{4}}b^{2}+by+y^{2}$
————————————————————
${\sqrt {a+{\tfrac {1}{4}}b^{2}}}$	$=\,$	${\tfrac {1}{2}}b+y$
————————————————————
${\sqrt {a+{\tfrac {1}{4}}b^{2}}}-{\tfrac {1}{2}}b$	$=\,$	$y.\,$

Es sey $a=40,\ b=3$; so ist $y={\sqrt {40+{\tfrac {9}{4}}}}-{\tfrac {3}{2}}={\sqrt {169:4}}-{\tfrac {3}{2}}={\tfrac {13}{2}}-{\tfrac {3}{2}}={\tfrac {10}{2}}=5$, und demnach $x=8$.

Die 19. Aufgabe.

53. Die Differenz zweyer Quadrate zu finden, deren Wurzeln um 1 unterschieden sind.

Auflösung.

Es sey die eine Wurzel $n$, die andere $n+1$; so ist das Quadrat der grossen $n^{2}+2n+1$. der kleinen $n^{2}$.

die Differenz $2n+1$.

Weil nun jede Zahl zweymal genommen eine gerade Zahl bringet, und eine gerade Zahl von einer ungeraden um 1 unterschieden ist; so ist die Differenz zweyer Quadrate, deren Wurzeln um 1 unterschieden sind, eine ungerade Zahl, die der Summe der Wurzeln gleich ist. Es seyn die Wurzeln 8 und 9; so ist die Differenz ihrer Quadrate 17 = 8 + 9.

Die 20. Aufgabe.

54. Den Unterscheid zweyer Cubiczahlen zu finden, deren Wurzeln um 1 von einander unterschieden sind.

Auflösung.

Es sey die eine Wurzel $=n$, die andere $n+1$, so ist

die grosse Cubiczahl $n^{3}+3n^{2}+3n+1$

die kleine $n^{3}$

der Unterscheid $3n^{2}+3n+1$.

Das ist, $n^{2}+2n+1+2n^{2}+n=(n+1)^{2}+2n^{2}+n$. Also ist der verlangte Unterscheid die Summe aus dem Quadrate der grossen Wurzel, und dem Quadrate der kleinen zweymal genommen, und der kleinen Wurzel. Z. E. es seyn die Wurzeln 8 und 9; so ist der Unterscheid ihrer Cubiczahlen^{[WS 6]} $217=81+128+8=9^{2}+2\cdot 8^{2}+8$.

Die 21. Aufgabe.

55. Zu finden, wie groß in einer arithmetischen Progreßion die Summe der beiden äussersten Glieder sey.

Auflösung.

Es sey das erste Glied $a$, der Unterscheid der Glieder $d$; so ist die Progreßion (§. 54. Arithm.)

${\begin{matrix}a.a+d.&a+2d.&a+3d.&a+4d.&a+5d.\\{\underline {\;a+4d}}&&{\underline {\;a+2d\;}}&&{\underline {\;\;\;\;\;\;a\;\;\;\;\;\;}}\\2a+5d&=&2a+5d&=&2a+5d\end{matrix}}$

${\begin{matrix}a.a+d.&&a+2d.&a+3d.&a+4d.\\{\underline {\;a+3d}}&&{\underline {\;\quad 2\quad \;}}&&{\underline {\;\quad a\quad \;}}\\2a+4d&=&2a+4d&=&2a+4d\end{matrix}}$

Lehrsatz.

In einer arithmetischen Progreßion ist die Summe der beiden äussersten Glieder der Summe jeder zweyen Gliedern gleich, die von den äussersten gleich weit abstehen, ingleichen zweymal so groß als das mittlere, wenn die Glieder an der Zahl ungleich sind.

Z. E.	3.	6.	9.	12.	15.	18.	21.
				12	9	6	3
				————————
				24 = 24 = 24 = 24.

Zusatz.

56. Derowegen bekommet ihr die Summe der ganzen Progreßion, wenn ihr die Summe des ersten und letzten Gliedes durch die halbe Zahl der Glieder multipliciret.

Die 22. Aufgabe.

57. Aus dem ersten Gliede, dem Unterscheide der Glieder, und der Summe einer arithmetischen Progreßion, die Zahl der Glieder und das letzte Glied finden.

Auflösung.

Es sey das erste Glied $=a$, die Zahl der Glieder $=x$, der Unterscheid $=d$, das letzte Glied $=y$, die Summe $=c$.

So ist (§. 56.)^{[WS 7]}

${\tfrac {1}{2}}x(a+y)$	$=\,$	$c\,$		$\,a+dx-d\,=\,y$
————————————— 2
$ax+xy\,$	$=\,$	$2c\,$
$xy\,$	$=\,$	$2c-ax\,$
$y\,$	$=\,$	$(2c-ax):x\,$		folgends
———————————————————————————
		$(2c-ax):x\,$	$=\,$	$a+dx-d\,$
--------------------------------------------------------------------------------------- x
		$2c-ax\,$	$=\,$	$dx^{2}+ax-dx\,$
--------------------------------------------------------------------------------------- d
		$2c:d\,$	$=\,$	$x^{2}+{\frac {(2a-d)x}{d}}\,$

Setzet $(2a-d):d=m\,$, so ist

$2c:d\,$	$=\,$	$x^{2}+mx\,$
${\tfrac {1}{4}}m^{2}$	$=\,$	${\tfrac {1}{4}}m^{2}$      (§. 50.)
——————————————————————————
${\tfrac {1}{4}}m^{2}+2c:d$	$=\,$	$x^{2}+mx+{\tfrac {1}{4}}m^{2}$
${\sqrt {{\tfrac {1}{4}}m^{2}+2c:d}}$	$=\,$	$x+{\tfrac {1}{2}}m$
${\sqrt {{\tfrac {1}{4}}m^{2}+2c:d}}-{\tfrac {1}{2}}m$	$=\,$	$x.\,$

Es sey $a=2,\ d=3,\ c=57$, so ist $m=(4-3):3={\tfrac {1}{3}}$, folgends^{[WS 8]} $x={\sqrt {{\tfrac {1}{36}}-{\tfrac {114}{3}}}}+{\tfrac {1}{6}}={\sqrt {\tfrac {1369}{36}}}-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {37}{6}}-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {36}{6}}=6.$. Ferner ist $y=2+18-3=2+15=17.$

Die 23. Aufgabe.

58. Zu finden, auf wie vielerley Art die Glieder einer geometrischen Proportion versetzet werden können, damit sie einander proportional bleiben.

Auflösung.

Versetzet sie auf alle mögliche Weise, und vergleichet ihre Summen, Unterscheide u. s. w. mit ihnen unter einander; so werdet ihr bald sehen, in welchen Fällen eine Proportion bleibet, wenn ihr nur Acht gebet, ob in beiden Verhältnissen, die mit einander verglichen werden, einerley Exponent ist (§. 52. Arithm.). ^{[WS 9]}

Es sey demnach	$a:ma=b:mb\,$
so ist (alternatim)	$a:b=ma:mb\,$
(inverse)	$ma:a=mb:b\,$
(conversim)	$a+ma:a=b+mb:b\,$
(composite)	$a+ma:ma=b+mb:mb\,$
(divisim)	$ma-a:a=mb-b:b\,$
	$ma-a:ma=mb-b:mb\,$
Ferner	$a^{2}:m^{2}a^{2}=b^{2}:m^{2}b^{2}\,$
oder überhaupt	$a^{n}:m^{n}a^{n}=b^{n}:m^{n}b^{n}\,$
Ingleichen	$a:mac=b:mbc\,$
	$a:{\frac {ma}{c}}=b:{\frac {mb}{c}}$
	$ac:ma=bc:mb\,$
	$a:{\frac {ma}{c}}=b:{\frac {mb}{c}}$
	$ac:mac=b:mb\,$
	${\frac {a}{c}}:ma={\frac {b}{c}}:mb\,$
	$ac:mac=db:mbd\,$
	${\frac {a}{c}}:{\frac {ma}{c}}={\frac {b}{d}}:{\frac {mb}{d}}$
Es sey ordinate	$a:ma=b:mb\,$
und	$ma:mna=mb:mnb\,$
so ist ex aequo	$a:mna=b:mnb\,$
Es sey pertubate	$a:ma=b:mb\,$
und	$ma:mna={\frac {b:b}{n}}$
so ist ex aequo	$a:mna={\frac {b:mb}{a}}$

Anmerkung.

59. Hier habet ihr ohne Mühe 18 sehr nützliche Lehrsätze gefunden, die ihr euch wohl bekannt machen müsset, wenn ihr inskünftige entweder die mathematischen Schriften zu lesen, oder auch durch eigenes Nachsinnen mathematische Wahrheiten herauszubringen gedenket. Denn die geometrische Proportion ist die Seele der mathematischen Wissenschaften. Ich halte es aber für unnöthig, die gefundenen Lehrsätze mit Worten auszudrucken, weil ein jeder das für sich selbst thun kan, wenn er Lust dazu hat. Z. E. der erste Lehrsatz lautet also:

Wenn vier Grössen proportional sind; so verhält sich auch die erste zu der dritten, wie die andere zu der vierten. Der 2. wird so gegeben: Wenn ihr in einer geometrischen Proportion das erste und dritte Glied durch eine Grösse multipliciret; so bleiben auch die veränderten Grössen den vorigen proportional.

Die 24. Aufgabe.

60. Zu finden, wie zwey Grössen verändert werden können, daß doch ihre erste Verhältniß gegen einander unverändert bleibet.

Auflösung.

Es seyn zwey Grössen $a$ und $ma$, die sich gegen einander verhalten wie 1 zu $m$; so ist

I.	$a\,$	$:\,$	$ma\,$		II.	$a\,$	$:\,$	$ma\,$
	$c\,$		$c\,$			$c\,$		$c\,$
—————					—————
	$ac\,$	$:\,$	$mac\,$	$=a:ma\,$		${\frac {a}{c}}\,$	$:\,$	${\frac {ma}{c}}\,$	$=a:ma=1:m\,$
				$=1:m\,$

III.	$a:ma\,$
	$b:mb\,$
——————
	$a-b:ma-mb=a:ma=b:mb=1:m\,$
IV.	$a:ma\,$
	$b:mb\,$
——————
	$a+b:ma+mb=a:ma=b:mb=1:m\,$

Lehrsatz.

1. Wenn ihr zwey Grössen durch eine dritte multipliciret; so verhalten sich die Producte gegen einander, wie die multiplicirten Grössen.

2. Wenn ihr zwey Grössen durch eine dritte dividiret; so verhalten sich die Quotienten, wie dieselben Grössen.

3. Wenn sich die weggenommenen Theile gegen einander verhalten, wie die ganzen Grössen; so verhalten sich auch die übrigen Theile, wie die ganzen Grössen.

4. Wenn die hinzugesetzte Grössen sich verhalten, wie die Grössen, zu denen sie addiret werden; so haben auch die Summen selbige Verhältniß.

Die 25. Aufgabe.

61. Die Grösse des Quotienten zu determiniren, der herauskommet, wenn der Unterscheid der beiden äussersten Glieder durch den um 1 verringerten Exponenten dividiret wird.

Auflösung.

Es sey das erste Glied $=a$, der Exponent $=m$, die Zahl der Glieder $=n$; so ist das letzte Glied $m^{n-1}a\,$, der Unterscheid des ersten und letzten $m^{n-1}a-a\,$. Dividiret denselben durch $m-1$; so kommet heraus $m^{n-2}a+m^{n-3}a+m^{n-4}a+m^{n-5}a+m^{n-6}a+m^{n-7}a$ u. s. w. Wenn demnach $n$ eine determinirte Zahl ist, z. E. 7, so ist $n-7=0$ und demnach $m^{n-7}=m^{0}=1$, folgends $m^{n-7}a=a$. Solchergestalt ist der Quotient die Summe aller Glieder, weniger das letzte.

$m-1)\,$	$m^{n-1}a-a\,$	${\begin{cases}m^{n-2}a+m^{n-3}a+m^{n-4}a\\+m^{n-5}a+m^{n-6}a{\text{ etc.}}\end{cases}}$
	$m^{n-1}a-m^{n-2}a\,$
—————————————————
$+\,$	$m^{n-2}a-a\,$
$+\,$	$m^{n-2}a-m^{n-3}a\,$
—————————————————
$+\,$	$m^{n-3}a-a\,$
	$m^{n-3}a-m^{n-4}a\,$
—————————————————
$+\,$	$m^{n-4}a-a\,$
	$m^{n-4}a-m^{n-5}a\,$
—————————————————
$+\,$	$m^{n-5}a-a\,$
	$m^{n-5}a-m^{n-6}a\,$
—————————————————
$+\,$	$m^{n-6}a-a{\text{ etc.}}\,$

Zusatz.

62. Wenn ihr demnach den Unterscheid des ersten und letzten Gliedes in einer geometrischen Progreßion durch den um 1 verringerten Exponenten dividiret, und zu dem Quotienten das letzte Glied addiret; so habet ihr die Summe der ganzen Progreßion.

Die 8. Erklärung.

64. Drey oder vier Grössen sind harmonisch proportional, wenn im ersten Falle der Unterscheid der ersten und anderen sich verhält zu dem Unterscheide der anderen und dritten, wie die erste zu der dritten; im andern Falle aber der Unterscheid der ersten und anderen zu dem Unterscheide der ersten und vierten, wie die erste zu der vierten. Dergleichen Zahlen sind 2, 3 und 6; denn 1:3 = 2:6. Wenn in dem ersten Falle die Glieder vervielfältiget werden; so entstehet eine harmonische Progreßion.

Die 26. Aufgabe.

64. Zu zwey gegebenen Grössen die dritte harmonische Proportionalgrösse zu finden.

Auflösung.

Es sey die erste $=a$, die andere $=b$, die dritte $=x$.

So ist (§. 53.)

$b-a:x-b\,$	$=\,$	$a:x\,$
—————————————————
$ax-ab\,$	$=\,$	$bx-ax\,$
—————————————————
$2ax-bx\,$	$=\,$	$ab\,$
—————————————————2a-b
$ab:(2a-b)\,$	$=\,$	$x.\,$

Es sey $a=10,\ b=16$; so ist $x=160:(20-16)=160:4=40\,$.

Der 1. Zusatz.

65. Wenn $2a=b$; so ist $x=ab:o$, und also $1:o=x:ab$, folgends kan keine harmonische Proportionalgrösse gefunden werden: welches viel weniger angehet, wenn $b$ grösser als $2a$.

Der 2. Zusatz.

66. Wenn man die dritte Grösse für die andere nimmet; so kan man auf gleiche Weise die vierte finden, und so weiter fort.

Die 27. Aufgabe.

67. Zwischen zwey gegebenen Grössen die mittlere harmonische Proportionalgrösse zu finden.

Auflösung.

Es sey die erste $=a$, die andere $=x$, die dritte $=b$.

So ist (§. 53.)

$x-a:b-x\,$	$=\,$	$a:b\,$
——————————————————
$bx-ab\,$	$=\,$	$ab-ax\,$
——————————————————
$x\,$	$=\,$	$2ab:(a+b)\,$.

Es sey $a=10,\ b=40$; so ist $x=800:50=16$.

Die 28. Aufgabe.

68. Zu drey gegebenen Grössen die vierte harmonische Proportionalgrösse zu finden.

Auflösung.

Es sey die erste $=a$, die andere $=b$, die dritte $=c$, die vierte $=x$.

So ist (§. 53.)

$b-a:x-c\,$	$=\,$	$a:x\,$
———————————————————
$bx-ax\,$	$=\,$	$ax-ac\,$
———————————————————2a-b
$ac:(2a-b)\,$	$=\,$	$x\,$

Es sey $a=6,\ b=8,\ c=12;$ so ist $x=72;\ (12-8)=72:4=18.$

Die 29. Aufgabe.

69. Einen Circul zu finden, der so groß ist, als die Fläche eines gegebenen Cylinders.

Auflösung.

Es sey der Diameter des Cylinders $=d$, seine Peripherie $=p$, die Höhe $=a$; so ist die Fläche $=ap$ (§. 134. Geom.). Es sey ferner der Diameter des Circuls $=x$; so ist $d:p=x:(px:d)$. Und demnach die Peripherie des Circuls $px:d$, folgends seine Fläche $px^{2}:4d$ (§. 167. Geom.). Derowegen ist

$px^{2}:4d\,$	$=\,$	$ap\,$
—————————
$x^{2}\,$	$=\,$	$4ad\,$
—————————
$x\,$	$=\,$	${\sqrt {4ad}}$ oder ${\tfrac {1}{2}}x={\sqrt {ad}}$

Der halbe Diameter des verlangten Circuls ist die mittlere Proportionallinie zwischen der Höhe und dem Diameter des Cylinders.

Die 30. Aufgabe.

70. Aus dem gegebenen Diameter einer Kugel und der Höhe eines Cylinders, der ihr gleich ist, den Diameter des Cylinders zu finden.

Auflösung.

Es sey die Höhe des Cylinders $=a$, der Diameter der Kugel $=d$, ihre Peripherie $=p$, der Diameter des Cylinders $=x$; so ist der Inhalt der Kugel $={\tfrac {1}{6}}pd^{2}$ (§. 208. Geom.), die Peripherie des Cylinders $px:d$, sein Inhalt $apx^{2}:4d$ (§. 197. Geom.) und demnach

${\tfrac {1}{6}}pd^{2}$	$=\,$	$apx^{2}:4d\,$
——————————— 4d
${\tfrac {4}{6}}pd^{3}$	$=\,$	$apx^{2}\,$
——————————— ap
${\frac {2d^{3}}{3a}}$	$=\,$	$x^{3}\,$.

Es ist also wie $3a:2d=d^{2}:x^{2}$.

Die 31. Aufgabe.

71. Aus dem gegebenen Diameter eines Coni und der Höhe, den Diameter des Cylinders zu finden, der ihm der Höhe und dem Inhalte nach gleich ist.

Auflösung.

Es sey der Diameter des Coni $=d$, die Höhe $=a$, der Diameter des Cylinders $=x$, die Verhältniß des Diametri zur Peripherie $=d:p$; so ist der Inhalt des Coni $={\tfrac {1}{12}}adp$, die Peripherie des Cylinders $px:d$, und sein Inhalt $apx^{2}:4d$, folgends

${\tfrac {1}{12}}adp$	$=\,$	$apx^{2}:4d\,$
——————————— 4d
${\tfrac {1}{3}}ad^{2}p$	$=\,$	$apx^{2}\,$
——————————— ap
${\tfrac {1}{3}}d^{2}$	$=\,$	$x^{2}\,$
——————————— ap
${\sqrt {{\tfrac {1}{3}}d}}$	$=\,$	$x.\,$

Suchet zwischen ${\tfrac {1}{3}}d$ und $d$ die mittlere Proportionallinie, und beschreibet darum einen Circul; dieser ist die Grundfläche des Cylinders.

Die 32. Aufgabe.

72. Aus dem gegebenen Diameter eines Coni und seiner Höhe den Diameter einer Kugel zu finden, die ihm gleich ist.

Auflösung.

Es sey der Diameter der Grundfläche des Coni $=d$, seine Peripherie $=p$, die Höhe $=a$, der Diameter der Kugel $=x$; so ist der Inhalt des Coni $={\tfrac {1}{12}}adp$ (§. 201 Geom.), hingegen der Inhalt der Kugel $px^{3}:6d$ (§. 208. Geom.). Derowegen ist

${\tfrac {1}{12}}adp$	$\,=$	$px^{3}:6d\,$
—————————
${\tfrac {1}{2}}ad^{2}$	$\,=$	$x^{3}\,$
—————————
${\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}ad^{2}}}$	$\,=$	$x\,$.

Die 33. Aufgabe.

73. Die Natur der Gleichungen und ihre vornehmste Eigenschaften zu untersuchen.

Auflösung.

1. Nehmet so viel Werthe von $x$ an, als euch beliebet, formiret daraus einfache Gleichungen, und bringet sie auf 0.

2. Multipliciret die einfachen Gleichungen in einander; so werden die höheren herauskommen, deren Betrachtung euch ihre Eigenschaften offenbaren wird.

Es sey	$x=2$	$x=a$
	$x=-3$	$x=-b$
	$x=4$	$x=+c$
so ist	$x-2=0$	$x-a=0$
	$x+3=0$	$x+b=0$
	$x-4=0$	$x-c=0$
	$x-2=0$	$x-a=0$
	$x+3=0$	$x+b=0$
	———————————	———————————
	$+3x-6$
	$x^{2}-2x$	$x^{2}+bx-ab=0$
	———————————	$-ax$
	$x^{2}+x-6=0$
	$x-4=0$	$x-c=0$
	———————————	———————————
	$-4x^{2}-4x+24$	$x^{3}+bx^{2}-abx+abc=0$
	$x^{3}+x^{2}-6x$	$-ax^{2}-bcx$
		$-cx^{2}+acx$
	———————————
	$x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$

Wenn ihr diese Gleichungen (die ihr nach Belieben auf höhere Grade erhöhen könnet) betrachtet; so werdet ihr mit dem Harriot und Cartesio wahrnehmen.

1. Die bekannte Grösse des andern Gliedes sey die Summe aller Wurzeln mit einem widrigen Zeichen; des dritten Gliedes die Summe der Producte aus zwey in zwey Wurzeln; des vierten die Summe der Producte aus drey in drey Wurzeln etc. endlich das letzte Glied das Product aus allen Wurzeln mit einander. Z. E. in der quadratischen Gleichung ist die bekannte Grösse des anderen Gliedes +1, die Wurzeln sind +2 und –3.

2. Eine jede quadratische Gleichung habe so viel Wurzeln, als das erste Glied Abmessungen hat, oder der Exponente der Dignität desselben Gliedes Einheiten in sich begreifet. Z. E. in der quadratischen Gleichung ist der Exponente 2, die Zahl der Wurzeln ist auch 2.

3. Und zwar seyn in jeder Gleichung so viel wahre Wurzeln, als Abwechlungen der Zeichen auf einander folgen. Z. E. in unserer quadratischen Gleichung, die eine wahre Wurzel +2 und eine falsche –3 hat, folgen auf einander ++ und wechseln ab +–. In der cubischen, welche zwey wahre Wurzeln +2 und +4 und eine falsche –3 hat, wechseln anfangs +–, darauf folgen auf einander – – und abermals wechseln ab –+.

Die 34. Aufgabe.

74. Alle Rationalwurzeln, die in einer gegebenen Gleichung enthalten sind, zu finden.

Auflösung.

1. Es sey die gegebene Gleichung $x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$. Weil 24 das Product aus allen Wurzeln ist (§. 63.); so zerfället es in die Zahlen, durch deren Multiplication es entstehet, welche sind 1. 2. 3. 4. 6. 8. 12. 24. und machet daraus folgende einfache Gleichungen; $x-1=0,\ x+1=0,\ x-2=0,\ x+3=0,\ x-4=0,\ x+4=0$ etc.

2. Dividiret die gegebene Gleichung durch diese einfachen; denn durch die sie sich dividiren lässet, die zeigen ihre Rationalwurzeln (§. 63.). Als $x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$ lässet sich dividiren durch $x+3$; derowegen ist –3 eine falsche Wurzel von dieser Gleichung. Der Quotient, so herauskommet, $x^{2}-6x+8=0$ läßt sich ferner dividiren durch $x-2$, und der neue Quotient ist $x-4$. Derowegen sind 2 und 4 zwey wahre Wurzeln von der gegebenen Gleichung.

Anders.

Ihr dürfet auch nur die Zahlen, in welche das letzte Glied zerfället worden, nach einander in die Stelle von $x$ setzen: denn wenn dadurch die ganze Gleichung zernichtet wird, so ist die für $x$ gesetzte Zahl eine von ihren Rationalwurzeln (§. 63.). Z. E. es sey $x^{2}-6x+8=0$. Das letzte Glied 8 entstehet, wenn ihr 2 durch 4 multipliciret.

Setzet	$4\,$	$=x\,$
	———————
so ist	$16\,$	$=x^{2}\,$
	$-24\,$	$\,=-6x$
	$+8\,$	$\,=+8$
	———————
	$0\,$	$\,=0$.

Solchergestalt ist +4 eine von den Rationalwurzeln.

Die 35. Aufgabe.

75. Aus einer jeden gegebenen Gleichung die Wurzel durch Näherung zu finden.

Auflösung.

Wir wollen die Regeln bald auf Exempel anwenden, und zwar den Anfang von einer quadratischen Gleichung machen, damit wir sie desto besser begreifen.

Es sey demnach $x^{2}-5x-31=0$. Setzet, die Wurzel sey $8+y$, dergestalt, daß $y$ einen Bruch bedeutet, um welchen 8 entweder grösser oder kleiner ist als $x$. Solchergestalt ist

$\,x^{2}$	$\,=$	$\,64+16y+y^{2}$
$\,-5x$	$\,=$	$\,-40-5y$
$\,-31$	$\,=$	$\,-31$
————————————————
		$-7+11y+y^{2}=0\,$

Da nun die Dignitäten eines Bruches beständig abnehmen, und man hier nur die Wurzel beynahe wissen will; so lässet man $y^{2}$ weg und nimmet an

	$-7+11y=0\,$
das ist	$\,11y=7$
	—————————
	$y=0.6=0.{\tfrac {6}{10}}$
Also ist	$x=8+0.6=8.6\,$.

Weil der Werth von $x$ in Zehen-Theilchen noch nicht genau genug bestimmet; so setzet $x=8.6.+y\,$ und verfahret wie vorhin. Ihr findet demnach

$\,x^{2}$	$=\,$	${\tfrac {7396}{100}}+{\tfrac {172}{10}}y+y^{2}$
$\,-5x$	$=\,$	$-{\tfrac {430}{10}}-5y$
$-31\,$	$=\,$	$-31\,$
———————————————————————
${\tfrac {7396}{100}}-{\tfrac {430}{10}}-31+{\tfrac {172}{10}}y-5y=0$

Das ist, wenn man die Brüche unter einerley Benennung bringet (welches hier den Anfängern zu Gerfallen einmal für allemal geschehen soll,)

${\begin{array}{l}73.96-43.00-31.00+(17.20-500)y=0\\\hline -0.04-12.20y=0\\\hline 12.20y=0.04\\\hline y=0.0032\end{array}}$

Also ist $x=8.6000+0.0032=8.6032$

Wenn ihr die Wurzel noch genauer verlanget; so setzet $x=8.6032+y$. Alsdenn ist

${\begin{array}{rcl}x^{2}&=&74.01505024+17.20640000y+y^{2}\\-5x&=&-43.01600000-5.00000000y\\-31&=&-31.00000000\\\hline \end{array}}$

${\begin{matrix}-0.000094976+12.20640000y=0\\12.20640000y=0.00094976\\\hline y=0.000077808.\end{matrix}}$

Also ist $x=8.603277808$.

Man soll ferner die Wurzel aus der cubischen Gleichung $x^{3}+2x^{2}-23x-70=0$ ausziehen. Setzet

	$\,5+y$	$=\,$	$\,x$
——————————————————
so ist	$x\,$	$\,=$	$125+75y\ldots \,$
	$\,+2x^{2}$	$=\,$	$50+20y\ldots \,$
	$\,-23x$	$=\,$	$\,-115-23y$
	$\,-70$	$=\,$	$\,-70$
——————————————————[WS 10]
	$\,-10+72y$	$\,=$	$\,0$
	$72y\,$	$\,=$	$\,10$
——————————————————
	$y\,$	$\,=$	$\,0.1$

Also ist $x=5+0.1=5.1$.^{[WS 11]}

Setzet ferner $\,x$	$=\,$	$5.1+y\,$;[WS 11] so ist
$x^{3}\,$	$=\,$	$132.951+78.030y....\,$
$+2x^{2}\,$	$=\,$	$51.020+20.400y....\,$
$-23x\,$	$=\,$	$-117.300-23.000y\,$
$-70.\,$	$=\,$	$-70.000\,$
————————————————————
$\,-2.929+95.430y=0$
————————————————————
$\,95.430y=2.929.$
————————————————————
$y\,$	$=\,$	$0.0348.\,$

Also ist $x=5.1+0.0348=5.1348.$

Wolte man die Wurzel noch genauer haben; so setzte man $x=5.1348+y$ und suchte den Werth von $y$, wie vorhin.

Wenn ihr die Wurzel geschwinder in vielen Zahlen genau haben wollet; so müsset ihr noch den Wert von $y^{2}$ beybehalten, und die quadratische Gleichung auf gewöhnliche Art (§. 50.) auflösen, nur daß ihr zehentheilige Brüche behaltet. Nemlich wenn $x=5+y$; so ist

$\,x^{3}=125+75y+15y^{2}$

$\,+2x^{2}=50+20y+2y^{2}$

$\,-23x=-115-23y$

$\,-70=-70$

———————————————

$\,-10+72y+17y^{2}=0$

———————————————

$\,17y^{2}+72y=10$

———————————————

$\,y^{2}+4.2352y=0.58823530$

$\,4.48422976=4.48422976$

———————————————

$\,y^{2}+4.2352y+4.48422976=5.0724506$

———————————————

$\,y+2.1176=2.2522$

———————————————

$\,y=0.1346$

Also ist $x=5.1346$

Woltet ihr nun setzen $x=5.1346+y$ und wie vorhin den Werth von $y$ finden; so würdet ihr gleich durch die andere Rechnung sehr weit hinaufkommen.

Ende der Algebra.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dignität von lat. dignitas (Würde), nur noch veraltet für eine mathematische Potenz oder deren Exponent – hier noch durchgängig – verwendet.
2. Der Drucksetzer der Vorlage verfügte offenbar nicht über ein hochgestelltes Plus-Zeichen; für $y^{m+n}\,$ steht in der Vorlage $y^{m}+^{n}\,$.
3. Die Wurzelzeichen in der Vorlage wurden nicht über den Radikanten verlängert, ungefähr ${\sqrt[{3}]{}}x$. Es wird hier durchgängig die moderne Schreibweise benutzt; später wird in der Vorlage der Term unter der Wurzel eingeklammert.
4. Formeln auf die nächste Seite übertragen.
5. Formeln auf die nächste Seite übertragen.
6. Bei $2\cdot 8^{2}$ moderner Mal-Punkt ergänzt
7. Formeln auf die nächste Seite übertragen.
8. In der folgenden Formel sind einige Ziffern im Scan verblichen. Diese wurden aus dem Kontext ergänzt.
9. Fehlende Zeichen ergänzt nach Google
10. Formeln von nächster Seite hierher übertragen.
11. Vorlage: 51.