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	Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie

also ebenso wie in der klassischen Theorie, deren Formel

${\mathfrak {v}}={\mathfrak {v}}_{1}+{\mathfrak {v}}_{2}$

nur in der ersten Annäherung gültig ist, da man nur für kleine Geschwindigkeiten ${\mathfrak {v}}={\mathfrak {u}}$ setzen darf. Sind $v_{1}$ und $v_{2}$ klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit, so kann man das letzte Glied im Zähler und im Nenner des Ausdruckes (7) vernachlässigen, und man erhält die gewöhnliche Formel

(9)	$v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha }}$

Nimmt man den Parameter $c$ unseres Lobatschefskijschen Raumes unendlich groß, so geht er in den euklidischen Raum über, und die Formel (7) reduziert sich genau auf (9). Schließen die Geschwindigkeiten $v_{1}$ und $v_{2}$ den Winkel $\alpha =0$ ein, liegen sie also in der gleichen Richtung, so ist nach (5)

(10)	$u=u_{1}+u_{2}$

Die resultierende reduzierte Geschwindigkeit $v$ folgt aus der Formel

$\mathrm {th} \,u={\frac {\mathrm {th} \,u_{1}+\mathrm {th} \,u_{2}}{1+\mathrm {th} \,u_{1}\mathrm {th} \,u_{2}}}$

oder

(11)	$v={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}}}$

Die Resultante ist zwar im arithmetischen Sinne kleiner als die Summe der Komponenten, aber sie wird doch dargestellt ebenso wie in der klassischen Mechanik durch eine Strecke, welche der Summe der die Komponenten darstellenden Strecken gleichkommt. Komponiert man zwei gleiche Geschwindigkeiten $U_{1}$ in gleicher Richtung, so wird die Resultante durch die Strecke $2U_{1}$ repräsentiert.

Zur Substitution (1), die mir den Weg zur nichteuklidischen Interpretation der Relativtheorie gebahnt hat, will ich bemerken, daß Minkowski einmal^[1]

(12)	$-i\ \mathrm {tg} \,i\ \psi ={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}}=q$

gesetzt, d. h. das Geschwindigkeitsverhältnis als ein Tangens hyperbolicus ausgedrückt hat, aber er beachtete nicht weiter das mittlere Glied in dieser Relation. Auch Herglotz hat die Überzeugung ausgesprochen, daß die nichteuklidische Geometrie bei der Zusammensetzung

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1. H. Minkowski, Zwei Abhandlungen über die Grundgleichungen der Elektrodynamik, 1910, S. 10, Formel 2.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1912, Seite 109. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1912.djvu/7&oldid=- (Version vom 1.8.2018)