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	Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie

wir wollen das schreiben in der Form

(41)	$F=\sin \nu \left({\frac {l-x\ \cos \varphi -y\ \cos \psi }{c}}\right)$.

Mittels der Transformation (35) geht das über in

${\begin{aligned}F'&=\sin \nu \left({\frac {x'\mathrm {sh} \,u+l'\mathrm {ch} \,u-\left(x'\mathrm {ch} \,u+l'\mathrm {sh} \,u\right)\cos \varphi -y'\cos \psi }{c}}\right)\\\\&=\sin \nu \left({\frac {l'(\mathrm {ch} \,u-\cos \varphi \ \mathrm {sh} \,u)-x'(\mathrm {ch} \,u\cos \varphi -\mathrm {sh} \,u)-y'\cos \psi }{c}}\right)\end{aligned}}$

oder

(42)	$F'=\sin \nu (\mathrm {ch} \,u-\cos \varphi \ \mathrm {sh} \,u\left({\frac {l'-x'\cos \varphi '-y'\cos \psi '}{c}}\right)$.

Wir sehen, daß sich $F$ und $F'$ in derselben Form darstellen lassen, nur muß man setzen

(43)	$\nu '=\nu \left(\mathrm {ch} \,u-\cos \varphi \ \mathrm {sh} \,u\right)$,

(44)	$\cos \varphi '={\frac {\mathrm {ch} \,u\ \cos \varphi -\mathrm {sh} \,u}{\mathrm {ch} \,u-\cos \varphi \ \mathrm {sh} \,u}}={\frac {\cos \varphi -\mathrm {th} \,u}{1-\cos \varphi \ \mathrm {th} \,u}}$,

(45)	$\cos \psi '={\frac {\cos \psi }{\mathrm {ch} \,u-\cos \varphi \ \mathrm {sh} \,u}}$.

Berücksichtigt man die Formeln (1) und (6), so erhält man sofort die Einsteinschen Formeln

(46)	$\nu '=\nu \cdot {\frac {1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$,

(47)	$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }}$,

(48)	$\cos \psi '={\frac {\cos \psi {\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }}$.

Um diese Beziehungen geometrisch deuten zu können, wollen wir zu den Formeln (43)—(45) zurückgreifen, die wir noch so einrichten werden, daß in ihnen nur Strecken vorkommen werden. Es ist eine großer Vorteil der Lobatschefskijschen Geometrie, daß man in ihr Längen und Winkel durch Größen derselben Art ausdrücken kann, indem man nämlich entweder in allen Gleichungen statt jeder Länge $a$ den zugehörigen Parallelwinkel $\alpha =\Pi (a)$ einführt oder statt eines jeden Winkels $\alpha$ das Lot $a$, dessen Parallelwinkel $\alpha$ ist.^[1]

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1. Näheres darüber bei F. Engel, Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij. Zwei geometrische Abhandlungen, 1898, 244.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1912, Seite 120. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1912.djvu/18&oldid=- (Version vom 1.8.2018)