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	Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie

Hieraus ersieht man die Gruppeneigenschaft der Schiebungen längs der Abstandslinie.

Es sei $u$ die Projektion $NN'$ des Bogens $MM'$ in die $X$-Achse, dann ist

(30)	$X'=X-u,\ Y'=Y,$

also

(31)	${\begin{array}{l}\mathrm {sh} \,X'=\mathrm {sh} \,X\ \mathrm {ch} \,u-\mathrm {ch} \,X\ \mathrm {sh} \,u,\\\mathrm {sh} \,Y'=\mathrm {sh} \,Y.\end{array}}$

Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit $\mathrm {ch} \,Y'=\mathrm {ch} \,Y$ erhält man

(32)	${\begin{array}{rl}\mathrm {sh} \,X'\ \mathrm {ch} \,Y'=&\mathrm {sh} \,X\ \mathrm {ch} \,Y\ \mathrm {ch} \,u-\mathrm {ch} \,X\ \mathrm {ch} \,Y\ \mathrm {sh} \,u\\\mathrm {sh} \,Y'=&\mathrm {sh} \,Y.\end{array}}$

Nach der Fig. 6 ist weiter

$\mathrm {ch} \,0M'=\mathrm {ch} \,X'\ \mathrm {ch} \,Y',$

oder

$\mathrm {ch} \,r'=\mathrm {ch} \,(X-u)\mathrm {ch} \,Y,$

d. h.

(33)	$\mathrm {ch} \,r'=\mathrm {ch} \,X\ \mathrm {ch} \,Y\ \mathrm {ch} \,u-\mathrm {sh} \,X\ \mathrm {ch} \,Y\ \mathrm {sh} \,u$

Bis jetzt haben wir Lobatschefskijsche Koordinaten angewandt; wollen wir zu den Weierstraßschen übergehen, so müssen wir die Transformationsformeln (22) berücksichtigen. Mit ihrer Hilfe kann man die Gleichungen (32) und (33) auf die Form

(34)	${\begin{array}{l}x'=x\ \mathrm {ch} \,u-l\ \mathrm {sh} \,u\\y'=y\\l'=l\ \mathrm {ch} \,u-x\ \mathrm {sh} \,u\end{array}}$

bringen. Setzt man hierin nach der Formel

$\mathrm {ch} \,u={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}},\ \mathrm {sh} \ u={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}},$

und $l=ct$‚ so erhält man sofort die Lorentz-Einsteinsche Transformation in der gewöhnlichen Gestalt (26). Wir wollen sie aber immer in der Form (34) gebrauchen. Wir sehen also in der Tat, daß die durch eine gleichförmige Bewegung, von der Geschwindigkeit $u$, bedingte Raumzeittransformation durch die Translation des ein elementares Ereignis repräsentierenden Punktes $M$ vollständig charakterisiert wird. Die inverse Transformation ist

(35)	${\begin{array}{l}x=x'\ \mathrm {ch} \,u+l'\ \mathrm {sh} \,u\\y=y',\\l=x'\ \mathrm {sh} \,u+l'\ \mathrm {ch} \,u\end{array}}$

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Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1912, Seite 115. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1912.djvu/13&oldid=- (Version vom 1.8.2018)