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	Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie

Fig. 8.

$MN=u=\mathrm {th} ^{-1}{\tfrac {v}{c}}$. Wir fällen von $N$ aus auf $MT$ das Lot $NP$, errichten sodann auf $NP$ in $N$ das Lot $NR$, nehmen ferner auf $MT$ die Strecke $MS=1$ und fällen von $S$ aus auf $NR$ das Lot $SR$. Machen wir noch $NU=PS$, so wird $NU$ parallel zu $MT$ im Lobatschefskijschen Sinne, und diese Parallele schließt mit der $X$-Achse den Winkel $\varphi '$ ein.

Da der Punkt $U$ immer zwischen $S$ und $R$ zu liegen kommt, so ersieht man leicht aus der Figur, daß in der Relativtheorie $\varphi '$ kleiner als $\varphi '_{0}$ der gewöhnlichen Mechanik ist.

In der Einsteinschen Formel für die Aberration

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }},$

(32)

drücken wir die auf der linken Seite und im Zähler des Bruches vorkommende Kosinusse durch entsprechende Sinusse aus, quadrieren dann und erhalten so nach einigen Umformungen

$\sin \varphi '={\frac {\sin \varphi \cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }}.$

(33)

Bei der Bewegung der Erde in ihrer Bahn relativ zum Fixsternhimmel als Bezugssystem ist ${\tfrac {v}{c}}=0,0001$^[1]. Für solche kleine Geschwindigkeit kann man ${\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}$ vernachlässigen, um dann

$\sin \varphi '={\frac {\sin \varphi }{1-{\frac {v}{c}}\cos \varphi }}$

(34)

zu erhalten. Die Formel (34) und die Fomel (32), in der wir $\varphi '_{0}$ statt $\varphi _{0}$ nehmen wollen, geben

${\frac {\sin \varphi '_{0}}{\cos \varphi '_{0}}}={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi -{\frac {v}{c}}}},$

(35)

woraus man in Übereinstimmung mit der gewöhnlichen Theorie die Formel

$\sin \left(\varphi '_{0}-\varphi \right)={\frac {v}{c}}\sin \varphi '_{0}$

(36)

leicht findet. Durch Vergleichen der Formeln (33) und (34) finden wir

$\sin \varphi '={\frac {\sin \varphi '_{0}}{\mathrm {ch} \ u}}.$

(37)

Nimmt man in der Fig. 3 aber $OM'=u$, so kann man setzen

$MM'=\sin \varphi '_{0},\ ON=\sin \varphi '.$

(38)

Noch besser wäre, Fig. 1 in meiner ersten Mitteilung zu nehmen. Dann kann man nehmen

$s=\sin \varphi '_{0},\ s'=\sin \varphi '.$

7. Der Lichtdruck.

Die folgenden Bemerkungen beziehen sich auf Einsteinsche Formeln, die sich in § 8 seiner ersten Arbeit über das Relativitätsprinzip^[2] befinden. Man ersieht leicht, daß

${\frac {E'}{E}}={\frac {A'}{A}}={\frac {\mathrm {ch} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \,u}}$

ist und dies kann man, wie früher ${\tfrac {\nu '}{\nu }}$, mittels der Fig. 6 interpretieren.

Für den Lichtdruck gibt Einstein die Formel

$P=2{\frac {A^{2}}{8\pi }}{\frac {\left(\cos \varphi -{\frac {v}{c}}\right)^{2}}{1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}.$

(41)

Wir transformieren sie zuerst auf die Form

$P=2{\frac {A^{2}}{8\pi }}\left(\mathrm {th} \,\ u_{1}-\mathrm {th} \,\ u_{2}\right)^{2}\cdot \mathrm {ch} ^{2}u,$

woraus man leicht

$P={\frac {2A^{2}}{8\pi }}\left({\frac {\mathrm {sh} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \,u_{1}}}\right)^{2}$

(42)

erhält.

Nehmen wir ein Lobatschefskijsches rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $u_{1}-u$ und einem spitzen Winkel $\alpha =\Pi \left(u_{1}\right)$, so erhalten wir für die dem Winkel $\alpha$ anliegende Kathete den Ausdruck

$\mathrm {sh} \,b={\frac {\mathrm {sh} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \,u_{1}}},$

(43)

und so wird

$P={\frac {1}{4\pi }}\left(A\,\mathrm {sh} \,b\right)^{2}.$

(44)

Agram, 12.Februar 1910.

(Eingegangen 18. Februar 1910.)     

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1. Brill, Einführung in die Mechanik, 1909, S. 206.
2. Ann. d. Phys. 17, 913–915, 1905.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie. S. Hirzel, Leipzig 1910, Seite 293. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1910b.djvu/7&oldid=- (Version vom 1.8.2018)