Seite:VaricakRel1910b.djvu/6

	Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie

in Fig. 4 angedeutete Koordinatentransformation wird auch die Gleichförmigkeit der Bewegung aufgehoben.

Bei Minkowski ist die Weltlinie‚ welche die gleichförmige Bewegung darstellt, die Gerade in der $xt$-Ebene durch den Koordinatenanfang.

Interessant ist in diesem Zusammenhange auch die folgende Überlegung Palagyis^[1]: „Was wir in dem stehend gedachten Raume als den durch den materiellen Punkt zurückgelegten Weg betrachten, ist nur der scheinbare Weg, den der Punkt beschreibt; der wirkliche Weg aber ergibt sich durch Konstruktion des rechtwinkligen Parallelogrammes aus dem scheinbaren Wege und aus der verflossenen Zeit … Dies mußte sich daraus ergeben, daß wir schon die Ruhe als eine gleichförmige Bewegung, und zwar als eine Bewegung in der subjektiven Dimension der Zeit auffaßten. Wir setzen also diese subjektive Komponente mit der objektiven Komponente, die durch den scheinbaren Weg gegeben ist, durch das Parallelogramm zusammen und erhielten so den wirklichen Weg, den der Punkt im fließenden Raume zurücklegt.

Dieser wirkliche Weg bildet mit dem Zeitstrahl einen Winkel $\varphi$, den ich den Zeitwinkel der gleichförmigen Bewegung nenne.“

Die Geschwindigkeit drückt er durch die Tangente des Zeitwinkels $\varphi$ aus.

Das Bild der beschleunigten Bewegung ist die Abstandslinie. Ihrem Durchschnitte mit der Ordinatenachse ordnen wir die relative Geschwindigkeit Null zu; in ihren übrigen Punkten ist

$v=c\,\mathrm {th} \,\ X.$

Die Geschwindigkeit wächst mit der Entfernung bis zur Lichtgeschwindigkeit an.

5. Das Dopplersche Prinzip.

In meiner ersten Arbeit über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie^[2] transformierte ich die erste Einsteinsche Formel für das Dopplersche Prinzip auf die Form

${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {\mathrm {ch} \,\left(u_{1}-u\right)}{\mathrm {ch} \,u_{1}}}.$

(28)

Nehmen wir zwei äquidistante Linien (Fig. 6) mit der $X$-Achse als gemeinsamen Mittellinie und mit den Parametern $OA=u_{1},\ OA'=u_{1}-u$. Die Bogen dieser zwei Abstandslinien, die von der $Y$-Achse und der Normalen zur $X$-Achse im Punkte $C$ abgegrenzt werden, sind

$AB=OC\,\mathrm {ch} \,u_{1},\ A_{1}B_{1}=OC\,\mathrm {ch} \,\left(u_{1}-u\right).$

Es ist also

${\frac {\nu '}{\nu }}={\frac {A_{1}B_{1}}{AB}}.$

(29)

Fig. 6.

Das Verhältnis der Frequenzen $\nu '$ und $\nu$ läßt sich im allgemeinen Falle darstellen als das Verhältnis der Bogen zweier Abstandslinien zwischen gemeinsamen Normalen.

Für $\varphi =0$ wird $u_{1}=\infty$. Die Abstandslinien gehen in die Grenzkreise mit den gemeinsamen Achsen über, und es wird

$\nu '=\nu e^{-u}.$

(30)

Diesem Falle entspricht Fig. 7.

Fig. 7.

In der euklidischen Geometrie reduzieren sich die Abstandslinien und die Grenzkreise auf Parallelen zur gegebenen Geraden. Die Ausdrücke für das Dopplersche Prinzip in der gewöhnlichen Mechanik kann man leicht graphisch versinnlichen mittels der Abschnitte paralleler Transversalen zwischen den Schenkeln eines Winkels.

6. Die Aberration.

Der Lichtstrahl $T$ treffe die $X$-Achse unter dem Winkel $\varphi$. Um die Richtung des abgelenkten Lichtstrahles zu finden, haben wir aus $N$ eine Lobatschefskijsche Parallele zu $T$ zu ziehen. Die Aberrationsgleichung ist

$u'_{1}=u_{1}-u.$

(31)

Die Konstruktion der verlangten Parallele ist in Fig. 8 folgendermaßen ausgeführt^[3]. Sei

---

1. Palagyi, Neue Theorie des Raumes und der Zeit, 1901, S. 45.
2. Diese Zeitschr. 11, 93, 1910.
3. Lobatschefskij-Engel, Zwei geometrische Abhandlungen, S. 256.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Die Relativtheorie und die Lobatschefskijsche Geometrie. S. Hirzel, Leipzig 1910, Seite 292. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1910b.djvu/6&oldid=- (Version vom 1.8.2018)